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Coefficicnten der Gleichung, aus der er hervorgegangen, noch ziemhch im 

 Dunkeln ist. Doch hat man für einige Gleichungen von specieller Form 

 Kriterien, um über ihre Möglichkeit zu entscheiden, ohne die ganze Reihe 

 der durch die allgemeine Auflösungsmethode vorgeschriebenen Transforma- 

 tionen zu durchlaufen. Zu den wenigen bekannten Sätzen, die diese Erleich- 

 terung gewähren, habe ich Gelegenheit gehabt, einige hinzuzufügen, welche 

 ich der Akademie in dieser Abhandlung vorzulegen die Ehre habe. 



Die eben erwähnten Sätze stehen im innigsten Zusammenhang mit 

 der Gleichung 



welche in der Theorie der unbestimmten Gleichungen des zweiten Grades 

 eine so wichtige Rolle spielt. Von Fermat nach der damaligen IMode den 

 englischen Mathematikern vorgelegt, beschäftigte dieselbe namentlich Pell 

 und Lord Brounker, deren Auflösimgen in die Lehrbücher der Algebra von 

 Wallis und Euler übergingen. Ihre eigentliche Wichtigkeit erhielt jedoch 

 diese Gleichung erst durch die von Euler gemachte Bemerkung, dafs mit 

 Hülfe derselben aus einer bekannten Auflösvuig einer Gleichung des zweiten 

 Grades neue Auflösungen in unendlicher Anzahl abgeleitet werden können. 

 Diese Eigenschaft (die aller Wahrscheinlichkeit nach schon Fermat bekannt 

 war, und durch die er vielleicht auf die Gleichung selbst geführt worden war) 

 machte es für die weitere Ausbildung dieses Theils der Analysis nothwendig, 

 streng nachzuweisen, was man bis dahin stillschweigend vorausgesetzt hatte, 

 dafs die obige Gleichung für jeden nicht quadratischen Werth von A eine 

 Auflösung zuläfst, denn, wenn gleich die Brounkersche und Feilsche Methode 

 in jedem besondern Falle zur Auflösung führte, und, wie wir jetzt wissen, 

 nothwendig führen mufste (da sie von der jetzt gebräuchlichen Methode 

 nicht wesentlich verschieden ist), so ging doch diese Nothwendigkeit nicht 

 unmittelbar aus der Natur der Methode selbst hervor, und es konnte mit 

 Recht gezweifelt werden, ob die Gleichimg unter der oben ausgesprochenen 

 Beschränkung immer möglich sei. Lagrange hob jeden Zweifel, indem er 

 die Theorie der Kettenbrüche auf diese Frage anwandte, und legte so den 

 Grund zu der vollständigen Behandlung der unbestimmten Gleichungen des 

 zweiten Grades. 



Was nun die früher erwähnten Kriterien betrifft, welche Legendre 

 aus der für jedes A Statt findenden Lösbarkeit der Fermatschen Gleichung 



