Einige neue Sätze über iinbestimmle Gleichungen. 651 



abgeleitet hat, so geben dieselben unter andern auch über die für einige 

 Untersuchungen wichtige Frage, für welche Werlhe von A die Gleichung 



t-—Ju'^:=—\ 



eine Auflösung zuläfst, in mehreren Fällen Aufschlufs. Lagrange hatte in 

 seiner ersten Abhandlung über unbestimmte Gleichungen ('), von einer 

 nicht weit genvig fortgesetzten Induktion verleitet, die Vermulhung ausge- 

 sprochen, dafs die verhergehende Gleichung stets möglich sei, wenn A keine 

 anderen ungeraden Primfaktoren enthält, als solche von der Form hn-\-\. 

 Diese Bedingung ist nöthig, indem sonst yi kein Divisor von t" + \ sein 

 könnte, wie es die Gleichung erfordert, allein sie reicht nicht hin und ist 

 z. B. für y/ = 5 . 4i erfüllt, ohne dafs deshalb die Gleichung eine Auflösung 

 zuläfst. Man kann zwar mehrere Bedingungen aufluiden, welche die Auflös- 

 barkeit der Gleichung zur Folge haben, aber sie erschöpfen nicht alle Fälle, 

 und es scheint eine sehr schwierige Aufgabe zu sein, das vollständige Merk- 

 mal anzugeben, woran sich alle Werthe von A erkennen lassen, für welche 

 die Gleichung möglich ist. 



Wir beginnen mit einer kurzen Darstellung der Legendreschen Me- 

 thode (■^). Es bezeichne A eine gegebene positive Zahl ohne quadratischen 

 Faktor, d. h. deren Primfaktoren alle von einander verschieden sind, und es 

 seien p und q die kleinsten Werthe (p^i und «7 = ausgenommen), welche 

 der bekanntlich immer lösbaren Gleichung 



p'-Jcf^=i (I) 



genügen. Bringt man dieselbe in die Form (p+i)(p — i)^Aq', und be- 

 merkt man, dafs p + i und p — t relative Primzahlen sind oder blofs den ge- 

 meinschaftlichen Faktor 2 haben, je nachdem p gerade oder ungerade ist, so 

 sieht man gleich, dafs die Gleichung (1) im ersten Falle die folgenden nach 



sich zieht, 



p + i = Mr% p — i=jVs', J = MN, q = rs, 



(*) Melanges de Turin. Tome IV, seconde partie, p.S8. 

 (') Theor. des Nom. premii-re partie, §. VII. 



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