662 Lejeune-Dirichlet: 



und eben so im zweiten, 



p + \ = 2Mr\ p — i = 2]Ys% A = MN, q = 2rs, 



wo M, N und mithin r, s durch p völlig bestimmt sind. Es sind nämlich 

 M, N im ersten Falle respective die gröfsten gemeinschaftlichen Theiler von 

 ^, p + i und A, p — I, im andern dagegen von A, ^'^ und J, ''7 -• Aus 

 diesen Gleichungen folgt resp. für den ersten und zweiten Fall 



(2) 3Ir''—Ns'=2, Mr"- — Ns^=i. 



Hat man die Gleichung (1) nicht wirklich aufgelöst, und ist also p 

 nicht bekannt, so weifs man blofs, dafs eine dieser Gleichungen Statt finden 

 mufs, und da unter dieser Voraussetzung M und N nicht einzeln gegeben 

 sind, so enthält jede der Gleichungen (2) mehrere besondere Gleichungen, 

 die man erhält, indem man successive für M alle Faktoren von A (1 imd A 

 mit eingeschlossen) nimmt und N =^ -j^j setzt. Das Legendresche Verfahren 

 besteht nun darin, eine oder mehrere dieser Gleichungen als unmöglich nach- 

 zuweisen. Bleibt nach dieser Ausschliefsung nur eine übrig, so ist die Lös- 

 barkeit derselben dargethan; im anderen Falle ist nicht entschieden, welche 

 unter den nicht ausgeschlossenen Statt findet ('). Es läfst sich immer all- 

 gemein, d. h. für jedes A, eine Gleichung angeben, welche ausgeschlossen 

 werden mufs, diejenige nämlich, welche die zweite Gleichung (2) für den 

 Fall darstellt, wo man J/ = i setzt; denn, da diese der Form nach mit (1) 



(') Es geht aus dem Gesagten blofs hervor, dafs von sämnitlichen Gleichungen (2) (welche 

 man durch alle möglichen Zerfällung von ^Z in zwei Faktoren ßl und N erhält) immer nur 

 eine aus (1) folgt. Man könnte daher vermuthen, dafs von allen diesen Gleichungen, wenn 

 man von ihrem Ursprung aus (1) abstrahirt, d. h. r und s in denselben als ganz unbestimmte 

 Zahlen betrachtet, mehrere möglich werden können. In diesem Falle müfsten diese möglichen 

 Gleichungen nach Anwendung irgend einer Ausschliefsungsmethode übrig bleiben, in so fern 

 nämlich dabei die Gleichungen ebenfalls an imd fdr sich betrachtet würden. Allein es ist 

 leicht, jede Ungewifsheit zu heben, denn man kann beweisen (man sehe das Ende der Ab- 

 handlung), dafs von den Gleichungen (2), wenn man auch r und s in denselben ganz unbe- 

 stimmt läfst, aufser der Immer darunter befindlichen r' — ^Ij^:=1, die nun nicht mehr aus- 

 zuschliefsen ist, nur noch eine einzige möglich ist. Wenn daher das Legendresche Ver- 

 fahren und die im Folgenden entwickelte Methode aufser dieser noch mehr als eine Glei- 

 chung übrig lassen, so liegt die dadurch entstehende Unbestimmtheit nicht In der Natur der 

 Sache, und es sind neue Kriterien erforderlich, um unter diesen Gleichungen diejenige zu 

 erkennen, welche allein eine Auflösung zuläfst. 



