Einige neue Sätze über unbestimmte Gleichungen. 653 



zusammenfällt, und da /• und s offenbar resp. kleiner als p und q sind, so 

 würde aus derselben gegen die gemachte Voraussetzung folgen, dafs man 

 nicht von der in den kleinsten Zahlen ausgedrückten Aullösung der Glei- 

 chung (1) ausgegangen ist. 



§.2. 



Es sei nun, um das eben angedeutete Verfahren anzuwenden, ^4 zu- 

 nächst eine ungerade Primzahl. Die Gleichungen (2) reduciren sich alsdann 

 auf die folgenden 



r'—y4s'=2, Jr'—s'=:, Jr'—s^=i. 



Hat ^ die Form in + i, so sind die beiden ersten unmöglich, da in 

 beiden die erste Seite offenbar nicht gerade sein kann, ohne durch 4 theil- 

 bar zu werden. Die dritte bleibt also allein übrig und man erhält den Satz : 



,,Für jede Primzahl ^ = 'm -t- i ist die Gleichung t" — y4u" ■= — i 

 möglich." 



Ist J von der Form hn + 3, welche in die beiden ünterabtheilungen 

 8« -H 3, s« -4- 7 zerfällt, so ist die dritte nicht zulässig, da nach derselben A 

 ein Theiler von s" + i sein müfste, welche Eigenschaft keiner Primzahl die- 

 ser Form zukommt. Zugleich ist klar, dafs, da in den beiden ersten /• und s 

 ungerade vorausgesetzt werden müssen und jedes ungerade Quadrat in der 

 Form s«+i enthalten ist, die ersten Seiten derselben resp. die Formen 

 s«-4-6, 8« + ;: oder die Formen s« + 2, 8«-+- 6 annehmen werden, je nach- 

 dem y/ in der Form s«-|-3 oder in dieser s«-k- 7 enthalten ist. Vergleicht 

 man diese Formen mit dem Werthe der zweiten Seite, so ergiebt sich der 

 Satz: 



,,Für jede Primzahl y/ = s«-4-7 ist die Gleichung t' — Au'^-=2, für jede 

 Primzahl =s«-+-3 hingegen die Gleichung t" — Au"^ ^=. — 2 möglich." 



Man sieht also, dafs man nie ungewifs ist, welche Gleichung Statt 

 findet, wenn A eine Primzahl ist. Anders stellt sich die Sache, wenn A 

 mehrere einfache Faktoren enthält. Setzt man A=.2a, wo a irgend eine 

 ungerade Primzahl bezeichnet, so ist p ungerade und man erhält aus der 

 zweiten Gleichung (2) die folgenden 



2r^ — as^ =ii, ar^ — 2s' =i, 2ar' — s'=i. 



