654 Lejeune - Dirichlet: 



Hat« die Form 4« + 3, so ist wieder die letzte auszuschliefsen, weil 

 a kein Theiler von s^ + \ sein kann. Ist rt = s« + 3, so ist auch die erste 

 nicht möglich, da die erste Seite, wenn sie ungerade sein soll, nur eine 

 der Formen sn + 5, s« + 7 annehmen kann. Ganz ähnlicherweise ist für 

 rt = sn + 7 die zweite auszuschliefsen. Es folgt also der Satz : 



,,Die Gleichimg 2t'^ — au" = i gilt für jede Primzahl der Form 8« + 7, 

 die Gleichung 21" — au^ =z — 1 hingegen für jede Primzahl der Form 



S« + 3." 



Untersucht man jetzt den Fall, wo a=:h.n+ \, so kann die dritte 

 nicht mehr ausgeschlossen werden. Hat« die speciellere Form 8« + 5, so 

 sind die beiden ersten nicht möglich, denn in jeder derselben kann die erste 

 Seite, wenn sie imgerade bleiben soll, nur eine der Formen 8« + 3, 8« + 5 

 annehmen. Wir haben also den Satz: 



,,Ist a eine Primzahl der Form s« + 5, so findet die Gleichung t'^ — 2au^ 

 = — 1 immer Statt." 



Für den Fall hingegen, wo man« die Form sra + i beilegt, ergiebt 

 diese Ausschliefsungsmethode gar kein Resultat imd es bleibt völlig unent- 

 schieden, welche der drei Gleichungen Statt finden mufs. Auf diesen Fall 

 wollen wir nun die Methode anwenden, welche den eigentlichen Gegenstand 

 dieser Abhandlung ausmacht. Wir werden zeigen, dafs, sobald a gewisse 

 Bedingungen erfüllt, die beiden ersten der zu untersuchenden Gleichungen, 

 welche wir zu leichterer Übersicht in der Doppelgleichung 



21'' — aii'^ = + 1 



vereinigen, nicht Statt finden können. Wir nehmen zunächst das obere Zei- 

 chen und haben also die Gleichung 



(3) 2t^ — aii''=i 



zu untersuchen. Zerlegt man u, welches offenbar ungerade ist, in seine ein- 

 fachen Faktoren h, h', h". . ., so dafs u=z hh'h". . ., so ergiebt diese Glei- 

 chung auf der Stelle, wenn man sich des von Legendre eingeführten Zei- 

 chens bedient, 



(t) = '. (^) = -. (f) = '. ••• 



