Einige neue Sätze über unbestimmte Gleichungen. 655 



Jede der Primzahlen h, h' , h" ... ist also nach bekannten Sätzen in 

 einer der Formen 8«+ i, s« — i enthalten, und dasselbe gilt also auch von 

 ihrem Produkt u. 



Aus der für u gefundenen Form s« + i folgt für u'' die Form i6« + i, 

 und da t offenbar ungerade, 2t' mithin in der Form i6ß + 2 enthalten ist, 

 so ergiebt sich gleich, dafs die erste Seile von (3) entweder die Form \6n-\-\ 

 oder ibii + 9 hat, je nachdem n = \Gn-\-\ oder =iö« + 9. Im letzten 

 Falle ist daher die Gleichung (3) nicht möglich. 



Nehmen wir jetzt das untere Zeichen, so haben wir folgende Glei- 

 chung zu betrachten 



2 t- — au- ■=— 1, (4) 



in der t gerade angenommen werden mufs. Setzt man t =: 2' gg'g" . . ., 

 wo g, g', g". . . ungerade Primzahlen bezeichnen, so folgt aus (4), (—^ = 1, 

 und hieraus vermöge des Reciprocitätsgesetzes, da a = An-h 1, (^) = 1, und 

 eben so (~-) = 1, (^) = "> • • • Zugleich ist wegen « = s« + i, (— ) = i- 

 Man erhält also durch Multiplikation 



ö = ■• 



Aus (4) ergiebt sich, wenn man zur Potenz -^j— ei-hebt, und berück- 



sichtigt, dafs ö= s« + 1, 2 " t '^ ^ 1 (mod. «), oder durch Vergleichung 

 mit dem oben gefundenen Resultate 



a —1 



2 * ^1 (mod. ß). 



Ist daher 2 * ^ — i (mod. a), so kann die Gleichung (4) nicht Statt finden. 

 Sind die beiden Bedingungen, welche respective die Unmöglichkeit 

 von (3) und (4) nach sich ziehen, vereinigt, so bleibt blofs die erste Glei- 

 chung übrig, und wir erhalten so den folgenden Satz. ,, 



— 1 

 ,,Ist a eine Primzahl der Form tbn + 9, und ist zugleich 2 " ^ — 1 



(mod. fl), so ist die Gleichung r' — :au'- = — 1 stets auflösbar." 



Die Entscheidung des Zeichens in 2 ^ ^±1 (mod.«), kann nach 

 einem bekannten Satz durch Zerlegung von a in zwei Quadrate geschehen. 

 Setzt man a = f^ -\- ■^'^ (wo -dy gerade angenommen wird), so findet das 



