656 Lejeune - Dirighlet: 



obere und untere Zeichen Statt, je nachdem yp die Form sn oder die Form 

 8 « + 4 hat. 



Es sei z. B. 



a =: 76t = i6 . AT + 9 = i9^ -t- 20" . 



Die Gleichung t^ — i522u^ = — 1 ist also möglich. 



Die beiden Bedingungen sind jedoch nicht nothwendig zur Möglich- 

 keit der Gleichung t^ — 2au^ = — i imd diese kann eine Auflösung zulassen, 

 ohne dafs auch nur eine derselben erfüllt ist. Es ist z.B. 15^ — 2.113.1"= — 1, 



113-1 



und doch ist ii3 von der Form 16« + 1 und zugleich 2 * ^1 (mod. 113). 

 Für die Primzahlen s« + 1, die nicht beiden Bedingungen zugleich genügen, 

 sind also neue Kriterien erforderlich, zu deren Entdeckung das hier ge- 

 brauchte Verfahren nicht geeignet scheint. 



§. 3. 



Wir behandeln jetzt den Fall, wo ^ das Produkt von zwei ungeraden 

 Primzahlen a, b ist, die entweder beide die Form kn-\-\ oder beide die 

 Form 4n-f-3 haben; die Gleichungen werden für diesen Fall 



/•^ — ahs'^-=.2, ar'^ — bs^=.2, br' — ns^=2, abr'^ — s'^=.2 

 ar^ — bs'=^l, br^ — as^=\, abr^ — s'z=.\. 



Die vier ersten sind nicht zulässig, da nach den gemachten Voraus- 

 setzungen in jeder derselben die erste Seite, wenn sie gerade sein soll, durch 

 4 theilbar wird. Sind a und b beide 4«-t-3, so ist auch abr^ — s"^ ■= 1 aus- 

 zuschliefsen, und es entscheidet sich gleich, welche der beiden anderen Statt 

 findet, denn die Existenz der ersten erfordert die Bedingung \J~\-^\, und 

 eben so die der zweiten {—^-\ = ij oder was dasselbe ist, {Aj\ = — i» 



Es gilt also folgender Satz : 



,,Sind a und b zwei Primzahlen 4« + 3, so ist die Gleichung af — bu^ 

 = + 1 immer möglich, wo das Zeichen mit dem des Ausdrucks /^) =:+ 1 

 übereinstimmt." 



Haben a und b die Form /i«-f-i, so ist die letzte Gleichung nicht 

 mehr auszuschliefsen. Soll die erste Statt finden, so müssen die Bedingungen 

 (-f ) = 1 und (~) = (^) = 1 erfüllt sein. Nach dem Reciprocitätsgesetz 

 reduciren sich dieselben auf eine von beiden, da immer für Primzahlen der 



