Einige neue Sätze über unbestimmte Gleichungen. 657 



genannten Form (-^) = (—J. Dieselbe Bedingung (-|-) = (-^) = i ist zur 

 Möglichkeit der zweiten Gleichung erforderlich. Es folgt also hieraus der 

 Satz: 



„Sind a und b zwei Primzahlen 4« + i und hat man zugleich (^^ = — i, 

 so ist die Gleichung t" — abu' = — i immer möglich." 



Ist hingegen f-^j = (— j = i , so bleibt es auf diese Weise unent- 

 schieden, welche der drei übrig bleibenden Gleichungen eine Auflösung zu- 

 läfst. Um für diesen Fall Kriterien zu finden, wenden wir das vorher ge- 

 brauchte Verfahren auf die beiden ersten dieser Gleichungen an, und ziehen 

 dieselben zu gröfserer Gleichförmigkeit der Bezeichnung in die folgende 

 zusammen 



at^ — bu' = ±i. 



Gilt zunächst das obere Zeichen, haben wir also die Gleichung 



at" — bu''=i (5) 



zu untersuchen , so müssen t und u respective ungerade und gerade ange- 

 nommen werden. ]Man setze u = 2' h h' h". . ., wo h, h', h". . . ungerade Prim- 

 zahlen bezeichnen. Aus (5) folgt leicht (~\ = i, und hieraus mit Hülfe des 

 Reciprocitätsgesetzes, ( — ) = i. Mulliplicirt man diese Gleichung und die 

 ähnlichen für h' , h", . . ., so kommt ( — ^ — '—\ = i. Die Zahl a hat eine der 

 beiden Formen 8« -H i, sn + s. Im ersten Falle ist (^) = i und also auch 

 f-^j = 1. Für a = ^n + s hat at' dieselbe Form (da t'^ = sn + i), und man 

 sieht leicht aus (5), dafs u nicht durch 4 theilbar ist. Man hat also 



d — 1 



(^) = (-|-) = — 1. Beide Resultate sind in der Formel ^-- ) = ( — i) * 

 enthalten, und man erhält durch Multiplikation mit der oben gefundenen 



1)-^. (ö) 



Andrerseits folgt aus (5), wenn man zur Potenz °7^ erhebt, 



(t)=(- 



b " u '^ ^{—() " (mod. «), 

 oder, wenn man hiermit das eben erhaltene Resultat (6) vergleicht, 



b * ^i (mod. a). 

 Phjrs.-matliemat. Abhandl. 1834. Oooo 



