658 Lejeuke-Dirichlet: 



Diese Bedingung mufs also erfüllt sein, wenn die Gleichung (5) mög- 



lieb sein soll. Hat man daher 3 * ^ — i (mod. a), so ist diese Gleichung 

 auszuschliefsen. Eben so findet man (ohne alle neue Rechnung durch blofse 

 Vertauscbung von a und b), dafs die Gleichung at' — bn^ = — i unmöglich 



ist, wenn a " ^ — i (mod. b). Man erhält also, wenn man beide Bedin- 

 gungen als gleichzeitig Statt findend voraussetzt, folgenden Satz ('): 



,,Sind a und b zwei Primzahlen An+ i, für welche (^) = i, und zu- 

 gleich (-^\ = — 1, (— ), =; — 1, so ist die Gleichung t^ — abu'= — t 



immer auflösba 



Setzt man z.B. a = 5, Z» = so, so sind alle Bedingungen erfüllt. Die 

 Gleichung t'^ — 5.S9«^ = — i läfst also eine Auflösung zu und man findet 

 in der That für die kleinsten Werthe von t und u. 



t=:h6G2, 11 = 22\. 



Es gilt übrigens hier wieder die schon früher gemachte Bemerkung, 

 dafs die Gleichung sehr wohl möglich sein kann, wenn gleich von den Be- 

 dingungen (^\ = — 1 und (— ) = — 1 keine oder nur eine erfüllt ist. 



Es ist z.B. für a = 5, ^ = 52i, (~j = i imd ( J = i, und doch 

 ist die Gleichung t^ — 5.521«* = — 1 auflösbar, denn man findet / = 66403, 

 u^= 1301. Ein zweites Beispiel liefert die Gleichung 



1022 — 617.1753.1- = — 1, ( — -1 =1. 



' V 617 /4 



Wir überlassen dem Leser die Entwicklung des Falles, vio A ^=ab, 

 und von den Zahlen a und b die eine die Form -in -t- 1, die andere die Form 

 4/J + 3 hat, so wie des Falles, wo A=-2ab, und «, b ungerade Primzahlen 

 bezeichnen, und wählen als letztes Beispiel der Anwendung unserer Methode 

 den Fall, wenn A das Produkt von drei Primzahlen «, b, c ist, die alle drei 



(') Zur Abkürzung bediene ich mich hier und im Folgenden eines dem Legendre'schen 

 ganz ähnlichen Zeichens. Es sei c irgend eine Primzahl 4" -f- 1 und k eine nicht durch c 



theilbare Zahl, für welche (-) = 1, d.h. A: 2 =1 (mod.r), so ist entweder i * = + I 

 oder — 1 (mod. c). Diesen I\est -f- 1 oder — 1 werde ich durch (— ) bezeichnen. 



