Einige neue Sätze über unbestimmte Gleichungen. 659 



in der Form An + i enthalten sind. Von den Gleichungen (2) sind alsdann 

 diejenigen, deren zweite Seite 2 ist, auszuschliefsen , da in denselben die 

 erste Seite, wenn sie gerade sein soll, offenbar den Faktor 4 enthält, und 

 die übrigen lassen sich wie folgt schreiben, 



nl' — bcu' = ±i, bt" — acu^z=±\, et' — abu' = ±i, t^ — abu' = — i. (7) 



Hat von den drei Ausdrücken 



(f) = (T). (t) = (t). (^) = (f). 



keiner oder nur einer den Werth + i, so sind alle drei Doppelgleichungen 

 unmöglich. Aus (^j^(~j = — i z.B. folgt die Unmöglichkeit der ersten 

 und zweiten, eben so aus /^j = (— j = — i die der dritten. 



,,Sind a, b, c Primzahlen der Form kn + \, und ist zugleich von den 

 Resten {t), \-\'> \)i deiner oder nur einer -\- i, so ist die Gleichung 

 t" — abcu" = — 1 immer möglich." 



Für die beiden anderen Fälle, wo die Reste (y), (-^)j (-) sämmtlich 

 oder zwei derselben den Werth + i haben, ist also eine neue Untersuchung 

 nöthig. Wir beginnen mit dem zweiten, d.h. wir gehn von folgenden Vor- 

 aussetzungen aus. 



Die zweite und dritte Doppelgleichung kann dann offenbar nicht Statt fin- 

 den und es bleibt blofs die erste zu untersuchen. Nimmt man zunächst das 



obere Zeichen, so dafs 



at^ — bcu-^i, (S) 



so müssen t und u respective ungerade und gerade angenommen werden. 



Setzt man u = 2''lih'h". . ., wo wieder li, h\ K'. . . ungerade Primzahlen 

 bezeichnen, so folgt aus (8), (^j = \, und mit Hülfe des Reciprocitäts- 

 gesetzes ( — j=i. Multiplicirt man diese Gleichung in die ähnlichen für 

 h', h" . . ., so kommt ( ' ~~^) ^^ '" ^^^ ^'^ Primzahl a die Form sn -\- i, 

 so ist( — )-=i, und also auch l^\ = \\ ist hingegen a = sn-\-5, so hat 



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