Einige neue Sätze über unbestimmte Gleichungen. 661 



welche beide Resultate vereinigt, in die vorher gefundene, so findet man 



(f)(7)=(-)^ 



Auf der andern Seite folgt leicht aus (9), wenn man zur Potenz 

 J ■ und -^ — erhebt. 



Vergleicht man das Produkt dieser Ausdrücke mit dem vorher erhal- 

 tenen, so gelangt man zu der für die Möglichkeit der Gleichung (9) nothwen- 

 digen Bedingung 



Man weifs also, dafs die Gleichung (9) nicht zulässig ist, sobald 

 vt) (~) ^^ — ^" Co™^''^i'^t i^än diese Resultate, so erhält man den Satz: 



,,Sind a, b, c Primzahlen 1« + i von solcher Beschaffenheit, dafs 



(t) = (v) = '. (f ) = -.,""'1 -s'-* (?) = - • -'1 (f ). (f). 



= — 1, so ist die Gleichung t' — abcu^ =. — i auflösbar." 



Sämmtliche Bedingungen sind ei-füUt, wenn man a = 5, ä='(1, c=109 

 annimmt, denn man hat 



(x).= '.(T).=-'.(i).=-'.(w).='- 



Die Gleichung t" — 5. ii.io9M^ = — i ist also auflösbar. Dasselbe gilt von 

 der Gleichung t'^ — 5.29. ioizr=: — 1. 



Der andere Fall, wo nämlich die Reste \j;\ \~fi \^} ^'Ig drei + 1 

 sind, ist einer ähnlichen Behandlung fähig. Die beiden alsdann hinzutreten- 

 den Doppelgleichungen aus (7) sind von derselben Form wie die eben unter- 

 suchte, und man erhält, wenn man die vorher gefundenen Resultate durch 

 blofse Vertauschung von a, Z», c auf dieselben überträgt, einen Satz, der sich 

 wie folgt, aussprechen läfst: . 



