662 Lejeune - Dirighlet: 



,,Sind rt, h, c Primzahlen hn-\-\, welche die Bedingungen ( — ) = (—\ 

 = ( J) = 1, und (^)^ = (-^)^ = {^) = (^) (^) = (A) (A) 



= ( — j (jj := — 1 erfüllen, so ist die Gleichung f — abcu"r=. — i 

 immer möglich." 

 So ist z. B. die Gleichung C — 5.41. 4o9m^ = — i auflösbar, denn man hat 



(kv\ /4o9\ (^m\ . 



(^) = (— ) = (-4r) = i' 



und 



■41 \ , /'409\ . /409 



(^).=-'- (w).='. (w).=-'- 



Es bleibt uns die oben in der Note zu §. 1 . ausgesprochene Behaup- 

 tung zu rechtfertigen. Zu diesem Zwecke bemerke man, dafs die Anwen- 

 dung des in dem genannten §. gebrauchten Verfahrens nicht auf die in den 

 kleinsten Zahlen ausgedrückte Auflösung der Gleichung (1) beschränkt ist, 

 sondern dafs man eben so gut von irgend einer anderen Auflösung ausgehen 

 kann. Es seien P, Q irgend zwei Werthe, die der Gleichung genügen, so 

 dafs also 



(10) P' — JQ'=i, 



während man p, q wie früher zur Bezeichnung der kleinsten Werthe beibe- 

 hält, so folgt ganz auf dieselbe Weise aus (10) eine der Gleichungen 



(11) M'R' — ]S'S' = 2, 



(12) M'R' — JS'S' = \, 



wo M', N' mit Accenten versehen sind, um sie von M, N in (2) zu unter- 

 scheiden. Es ist immer M' ]S'=- A, und die erste oder zweite Gleichung gilt, 

 je nachdem P gerade oder ungerade ist. Die Zahlen M\ N' sind im ersten 

 Falle die gröfsten gemeinschaftlicher Theiler von P+i, A und P — i, A, 

 im andern von -^— , A und ^~^ , A. Umgekehrt führt jede Auflösung einer 

 der Gleichung (11), (12), zu einer Auflösung von (10); denn findet (11) 

 Statt, so darf man nur P = M'R' — i und Q = RS setzen. Findet hingegen 

 (12) Statt, so setze man P = zM'B:' — i, und Q = 2RS. 



