.u'.:\ ^' Einige neue Sätze über iinbesünimte Gleichungen. \i i 663 



Es geht hieraus hervor, dafs man alle Auflösungen sowohl der Glei- 

 chungen von der Form (H), als derjenigen von der Form (12) erhalten 

 wird, wenn man nach einander alle Werthe P, Q betrachtet, die (10) ge- 

 nügen. Will man, ohne alle diese Auflösungen darzustellen, blofs entschei- 

 den, welche der in (11) und (12) enthaltenen Gleichungen auflösbar sind, 

 so hat man nur zu imtersuchen, ob P gerade oder ungerade ist, und M' zu 

 bestimmen. Je nachdem P gerade oder ungerade ist, gehört die entspre- 

 chende Gleichung zu (11) oder (12), und der gröfste gemeinschaftliche Di- 

 visor von yl und P + \ im ersten Falle, und der von A und — ^ — im zwei- 

 ten giebt den Werth von M'. Um nun sämmtliche Auflösungen von (10) auf 

 einmal zu umfassen, erinnere man sich, dafs alle Werthe von P durch die 

 Gleichung 



p _ (r-hqVAy -t- (f, — ,,\7iy 



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gegeben werden, in der n irgend eine ganze Zahl bezeichnet. 



Entwickelt man, so erhalten alle Glieder mit Ausnahme des ersten p" 

 den Faktor A ; man hat also 



P-^p" (mod.^). (13) 



Denkt man sich zunächst n ungerade, so wird, wie leicht zu sehen, 

 P gerade oder ungerade sein, je nachdem p gerade oder ungerade ist. Für 

 ein gerades p folgt aus ^. i. p^ — i (mod. M), p ^ i (mod. N), und durch 

 Erhebung p" "^ — i (mod. M) , p" ^ i (mod. iV), oder wenn man (13) und 

 J = MjS berücksichtigt, P = — i (mod. M), P = i (mod. N), d. h. P-M 

 ist ein Vielfaches von M, und P — i ein Vielfaches von iV^. Es mufs also, 

 da P -f- 1 und P — i relative Primzahlen sind und ihr Produkt durch M'N' 

 = MN theilbar ist, M'= M und N'—N sein. Die aus (10) folgende Glei- 

 chimg ist also für diesen Fall MR" — NS' = 2, d. h. sie hat dieselben Co- 

 efficienten M, — N, 2, wie die aus (1) abgeleitete. 



Ist p ungerade, so hat man nach §. 1. ^^ i (mod. 2M), p^ 1 (mod. 

 2iV) und folglich p" ^ — 1 (mod. 2iV/), p" ^^ i (mod. 2iV), woraus sich mit 

 Berücksichtigung von (13) ergiebt, dafs — ^ ein Vielfaches von M , und 

 ~ ein Vielfaches von N ist. Man schliefst dann wie vorher M':=M, 

 iV'=iV, so dafs die aus (10) abgeleitete Gleichung MR" — NS'^i dieselbe 

 Form hat, wie die aus (1) folgende. Man sieht also, dafs, wenn man von ir- 



