Beiträge zur unbestimmten Analjsis. 3 



die Form der Wurzel dargestellt, welche sie erhalten mufs, um der Aufgabe 

 zu genügen. 



Der zweite Abschnitt meines Aufsatzes, welcher die Diophantischeu 

 Annäherungsmethoden in Erwägung zieht, zerlegt sich in vier Unterabthei- 

 lungen : die erste behandelt die Findung einer Quadratzahl zwischen gegebe- 

 nen Grenzen ; die zweite die Zerlegung einer Quadratzahl in zwei Quadrat- 

 zahlen, die zwischen vorgeschriebene Grenzen fallen sollen; die dritte die 

 Umwandclung der Summen zweier Qiiadratzahlcn in die zweier andern in- 

 nerhalb vorgeschriebener Grenzen liegenden; die vierte behandelt die ähn- 

 liehe Verwandlung zweier Quadratzahlen in drei, u. s. w. 



Was nun den ersten dieser Gegenstände betrifft, so lehrt Diophantus 

 selbst Beispielsweise zwischen zwei gegebene Zahlen , wie Jj- und 4 eine 

 Quadratzahl einschieben, welche gröfser als -^, kleiner als vier. Eine in 

 der unbestimmten Analvsis berühmte vVufgabe ist diese: zu einer Zahl die 

 kein Quadrat ist, zwei Quadrate zu finden von der Beschaffenheit, dafs von 

 dem Product des einen mit der gegebenen, das andere Quadrat sich nur um 

 eine Einheit unterscheide. Auf die Lösung derselben führt in drei verschie- 

 denen Fällen schon das ganz einfache Verfahren des Diophantus, und ich 

 habe dieselben angezeigt. Ein Annäherungsverfahren aber ist es nicht, um 

 dies zu sein müfsle es zeigen, Quadrate zu finden, deren Werth dem einer 

 gegebenen Zahl so nahe komme als man will, näher als jede gegebene 

 Gröfse. Es läfst sich aber in ein solches wirkliches Annäherungsverfahren 

 umwandeln. Ich habe das Princip dazu aufgestellt, imd gezeigt, wie sich 

 nach demselben eine imendliche Reihe von Quadraten finden lasse, deren 

 jede folgende einer gegebenen Grenze näher komme, als das vorhergehende: 

 deren Wuizeln mithin die Quadratwurzeln einer irrationalen Zahl in rationa- 

 len Gröfsen so nahe ausdrücken als man will. So modificirt läfst sich die 

 obige berühmte Aufgabe auch mittelst dieses Anniiherungsverfahrens, wel- 

 ches ich das Diophantische nenne, durch unzählige Quadrate lösen. Es er- 

 innert aber in dieser Gestalt, obgleich gänzlich verschieden von der Methode, 

 deren man sich hiezu gewöhnlich bedient, doch unmittelbar an diese letztere 

 und es zeigt sich zwischen beiden Methoden eine bemerkenswerthe Analogie. 

 Um diese in das hellste Licht zu stellen, habe ich einen kurzen Abrifs der 

 bekannteren Methode, welche sich der Kettenbrüche bedient, um den Zweck 

 zu erreichen, ihrer Gründe und Regeln, geben müssen, und ich habe dies 



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