Beiträge zur unbeslinwilen Analysis. 5 



Doppelglcichung. 



1. Aufgabe: Zwei Functionen einer veränderlichen, x, sind gege- 

 ben : einen Werth von x zu finden, der beide in Quadrate verwandele. 



Es sei z.B. gegeben: 



ax -H a 



ßx + b 



Aus beiden ein x zu finden, so dafs ■ 



\ (ax' + d) =■ u 



V {ßx'-\-b) = w; 

 u, w, rationale Zahlen. ; ,;, r . ^ ... i 



Das gefundene x' heifse: die Wurzel; und zwar das unmittelbar ge- 

 fundene: die ursprüngliche Wurzel, zum Unterschiede von einer aus .x' 

 abgeleiteten. 



Diophantus hat die Aufgabe in einzelnen Fällen gelöst, mittelst des 

 Unterschiedes der beiden gegebenen Functionen. Er nennt dies Verfahren : 

 Diploisotä, Doppelgleichung. (B. II, Aufg. 12.) 



Allgemein ist 



(jr"'p + qY — {fp — lY = '^f Pi- 



Nennen wir A, B, die gegebenen beiden Functionen von x und zer- 

 legen A — B in zwei Factoren: /; ; y, so können wir setzen: 



(4r^)' 



wo das obere Vorzeichen des q für A, das untere für B giltig ist. Da nun 

 p \md (j Functionen von x sein werden, wie A, B, so wird diese Gleichung 

 einen Werth von x finden lassen, der in p, q, A, B, untergelegt, A, B, in 

 Quadrate verwandelt. 



Es ist diese Methode im Allgemeinen aber nur anwendbar auf Func- 

 tionen von X des ersten und des zweiten Grades. 



2. Functionen von x des ersten Grades sind unter diesen allgemei- 

 nen Formen begriffen: . ' ! ' 



,^ j • ax -^ a 



ßx + b '~ '- 



