Beiträge zur unbestimmten Analysis. 7 



eine Wurzel von zweifach verschiedenem Werthe. 



Hiernach ist die Aufgabe 

 . mx -H d' 



(m + i) jc + b" ' . 



jederzeit in ganzen Zahlen lösbar. 



3. Wärengegeben: 



a'x + a 



ß-x + l>, 



so wird die Aufgabe gelöst, durch die Lösung dieser: 



13' (a'x + a) = a'.o x + np 

 a" (ß'x+b) = a-ß'-x + ba" 



welche zu der Gattung 2.1) gehört, und deren Wurzel offenbar auch die 

 der gegebenen sein mufs. 



Die Doppelgleichung für eine Function von x ersten Grades giebl 

 also jedesmal ein rationales x 



i) wenn die Coefficienten von o- gleich, oder 



2) wenn sie Quadrate, oder 



3) wenn die von x unabhängigen Glieder Quadrate sind, 



4. Functionen von x des zweiten Grades haben die allgemeinen 



Formen : 



mx' + ax + a\ 



nx' + ßx + b. 

 Wir setzen: 



m — n = y\ a — /3 = ^; a — b = s, 

 also die Differenz 



= yx' + Sx -i- £. 



Wir können mittelst derselben auf dem in 1 . angezeigten Wege nur 

 in zwei Fällen ein rationales x erhalten. Entweder 



1) wenn £ ^ o, also a = b. Wir setzen dann: p = x; (] "=■ yx + k 

 Die Aufgabe ist dann: 1'"^,^ ""^T^Ij und, nach 1. 



{y^±yy x''±28(y'± y) .x H- S^ _m 



m r, CC 



11 p 



., — x" -i-"j X -h a 



