Beiträge zur unbestimmten Analjsis. , i3 



Aniiäherungsmetlioden nach Diophantus. 



I. 



Es kommt bei Diophantus öfters die Aufgabe vor, eine rationale Qua- 

 dratzahl zu fmden, welche zwischen zwei tun weniger als Eins unterschie- 

 dene Zahlen falle. So im 5"™ Buch, Aufgabe 14, ein Quadrat zwischen 

 3^ und A. 



Sein Verfahren, sie zu lösen, ist, allgemein dargestellt, folgendes: 



Gegeben : 

 zu fmden A , so dafs 



.1; ' ' f> o 



A 1 aJx- -h a- 



= W 



Der Zähler hat die Form: Bx'-l-a'. Dafür also eine Wurzel, x, 

 zu linden, wodurch dieser Ausdruck sich in ein Quadrat verwandle. 



Wäre a^i; B = c, so ist die Aufgabe : 



ex" + i = z" ; 

 gesetzt: z ^ (jx -{- i, so kommt 



x = ±-^3_^. 



c-q- 



Hiernach wird x eine ganze Zahl, wenn 



c = y' ± 1 

 oder c = q- ± 2 

 oder c = q" ± m, und 2q ^ miJ.. 



Gehört c zu einer dieser drei Gattungen , so wird obige Aufgabe : 

 cx' + 1 = z", in ganzen Zahlen, x, z, lösbar. 



In andern Fällen wird x ein Bruch =^ , imd die Aufgabe, die durch 

 diesen lösbar, gehört dann zu der Form: Bx'-i-a', 



In dem oben angeführten Beispiel des Diophantus ist 



c = 30 = b" — 6 ; (/ = 6 ; 2q = 2.6 ; !J. ^ 2 



30 . 2" -Hl = 11" 



