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Dies Beispiel ist von Diophantus, wie es scheint, gesucht, um seine 

 Methode bequem in Anwendung zu bringen. 



Soll aber c.-c" + a" = j" 



2 ■ , ■ ■■ 



in so enge Grenzen zwischen c undc+i eingeschlossen werden, d.h. soll 

 der radicale Bruch: ^, den Werth \'c, der als irrational angenommen wird, 

 so nahe als man will, angeben, so bietet sich, wenn wir den Weg des Dio- 

 phantus weiter verfolgen, dazu diese Methode dar: 



Es sei für c, «, gegebene, und /7, y, unbestimmte, ganze Zahlen: 



Man setze : 



X =z kpq ^2p- — «}, so kommt: 



cx^ + a" = {27/ — 2ya + a=}'=; 





«" 



X 4p(j |-!/»" — «J 



Für — «, wenn 



(t) 



" (2p- — a)'- -\- ^cp-q- 



cq- — a ■:= p"^ 



ergiebt sich eben dieser Ausdruck, — « in +« verwandelt. 



Wird nun die Aufgal^e : 



± « = p^ 



auf irgend eine Weise gelöst, so ergiebt sich daraus, mittelst vorstehender 

 Formeln, jederzeit ein neues q und p, ixiv Auflösung derselben Aufgabe. 

 Es ist aber leicht, sich zu überzeugen, dafs, wenn -^, ein ächter Bruch ist, 

 jedes folgende — genauer den Werth Vc darstellt. 



Wir erhalten also auf diesem Wege für ]c eine Reihe sich diesem 

 Werth immerfort annähernder rationaler Partialbrüche, ganz ähnlich wie 



