Beiträge zur unbestimmten ^naljsis. 15 



nach der Methode, die in-ationale Quadratwurzel einer gegebenen Zahl durch 

 einen Kettenbruch zu finden. 



Der das gegebene c zu einem Quadrat ergänzende Bruch — , wird : 



-^, wenn 



1) rt = 1, oder 



2) a ^= 2, oder 



3) p = fxa, IX irgend eine ganze Zahl; 



wie dieses sich aus dem obigen Ausdruck sofort ergiebt. In diesen Fällen ist 



ex' + 1 = J" 



wodurch also diese Aufgabe in ganzen Zahlen: x, j-, gelöst wird. 



Um die bemerkenswerthe Analogie zu zeigen , welche zwischen der 

 obigen Annäberungsmethode, die wir die Diophantische nennen wollen, und 

 der Methode des Kettenbi'uchs statt findet, wollen wir diese letztere, nach 

 ihren Gründen und Regeln, hier, kurz aber vollständig, vor Augen legen: 



Sei c eine positive ganze Zahl, und Vc irrational; /«', das gröfste in 

 c enthaltene Quadrat. Wir setzen nun 



c — m'" = i.a. 

 Sei ferner 



c — 7ii"" =. d .y 



d. h. diese Differenz in zwei Factoren, ganze Zahlen, zerlegbar, wovon der 

 eine, der zuerst erfundene : a. Dann erhalten wir 



(w'h-7?j") {in — m') = a' {y — i) 



Wir können aber jederzeit für ein gegebenes: /?^', und ein: a, finden ein 



m", a, so dafs 



m' -i- Dt" = a. n 



und zwar a den unter dieser Bedingung gröfsten Werth erhalte, und vi' klei- 

 ner sei als m . Dann ist 



c — nl'" — {c — ;;i'") 



theilbar durch d\ folglich: c — ni" enthält d als Factor, und es ist 



