Beiträge zur unbestimmten Analysis. 19 



und, \Yeil l'c irrational, 



woraus folgt: 



c(j = j) m + ap 



n 'f , f 



p =z (j m + aq 



cq —p =za{pq —p cj). 

 Es ist aber, nach der Eigenschaft eines Kettenbruchs, jederzeit : 



. , . m" — vi = + 1 ; ' 



folglich ist 



cq — p = _|_ rt 



Das obere Vorzeichen eilt, wenn die Stellenzahl des Bruches -^ in der Reihe 

 der Partialbrüche eine un2;erade ist, das '" " ^ ' als den ersten derselben ee- 



D ^ et O 



zählt; das untere für eine gerade Stellenzahl. 



Für den letzten Partialbruch in einem Kreislauf ist, wie wir oben ge- 

 sehen, a^i, also, wenn A- ein solcher, 



cq"- — p"- = =p I. 



Das obere Vorzeichen gilt, nach dem Gesagten, wenn der Kreislaut eine 

 ungerade Anzahl von Gliedern enthält. Ist dies der Fall, so hat A , der letzte 

 Bruch des ersten Kreislaufes, eine gerade, und der des zweiten eine unge- 

 rade Stellenzahl imd so weiter abwechselnd, wie sich dies alles aus dem Ge- 

 sagten ergiebt. Für eine Zahl c von solcher Natur ist also 



cq — 



P' = 



in beiden Fällen des Vorzeichens lösbar durch den Kettenbruch. Hat aber 

 -^5 eine ungerade Stellenzahl in der letzten Stelle des ersten Kreislaufes, so 

 ist dies derselbe Fall auch im zweiten und in allen folgenden. Dann giebt 



also ein solcher Bruch nur für 



cq' —p"- =— 1 



die Auflösung. Diese letztere Aufgabe ist also durch den Kettenbruch nur 

 lösbar, wenn c eine ungerade Anzahl von Divisoren a liefert. 



Da vermöge der Natur des Kettenbruchs für die Aufgabe 



cq- —p' =— i 



C2 



