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S E L G E K; 



kein Bruch ^ gefunden werden kann, der nicht in der Reihe seiner Partial- 

 brüche läge, so folgt, dafs, wenn diese Aufgabe sich durch die Diophan- 

 tische ]\Iethode lösen läfst, der dazu gefundene Bruch : -^ auch in der, durch 

 Auflösung des l'c in einen Kellenbruch, entslehenden Reihe liegen mufs. Ist 

 also diese Aufgabe durch die Diophantische Reihe lösbar, so mufs c eine 

 Zahl sein, die in einen Kettenbruch aufgelöst eine ungerade Anzahl von 

 Divisoren: «, giebt. 



In allen den Fällen, wo das obige — die Form hat — , giebt die 

 Diophantische Methode dasselbe Piesuhat der Annäherung für )'c, welches 

 die Methode des Kellenbruchs giebt. Nur ist die Reihe nach der ersteren Me- 

 thode an schneller Convergenz ]jei weitem der des Keltenbruchs überlegen. 



Für das obige Beispiel des Diophantus ist 



' oO + 6= 6", 



■ , I . '"•;■■ 

 folglich ist 



ao./i'r + 1 = 2\v. 



Lösen wir aber \'m in einen Kellenbruch auf, so erhalten wir die Di- 

 visoren a = 2, 10, 2, , und nach der Picihe : -^- := -1-, i/, A^-^-, -^1- mithin 



obigen Diophantischen Bruch in der zweiten Periode des Kettenbruchs. Aus 

 diesem aber ergiebt sich i '. m i,f '•: 



p = 24i ; a = 1 ; y = 41 ; 2jr — a = Il6l6l 

 ;i(." u .11 ■!': , ! ■ ; >; ,' ■: J^ \ . ."j';i)-'' 1 ii!. , '■;■.> 



, . •, • X 4. Ü41. 44.116161 I .. i 



und •> ■■'■ ■ ■ '■•'' ■ • ,i..:i-:i.;. 



yccc- + 1 = uöiör -f- 1.2/11". M^. 



Die Diophantische Methode kann also dazu dienen, die Convergenz 

 der Partialbrüche des Keltenbruchs zu beschleunigen. 



So giebt für die Aufgabe 



