Von einigen Sätzen aus der Theorie der Zahlen. 35 



n. Zieht man die erste Gleichung von der zweiten ab, so erhält man 



3. a «,— «7) + a, {cC-'—a--) + «„_, («,— «,) = N;?; 



WO alle Glieder links «„ — a, zum Factor haben. Ordnet man daher die an- 

 dern Factoren nach den Potenzen von a.^ , so bekommt die Gleichung (3.) 



die Form 



4. (a^— a,) [acC~' + lf ,cC~-+l>.^a1~^ + /i^_,] = N/^; 



wo die Cocfficienten Z», , l?.,, auch «, enthalten. 



TTT. Zieht man ferner die erste Gleichung (2.) von der dritten ab, so 

 bekommt man ein ganz ähnliches Resultat mit (4.), nur dafs darin a, die Stelle 

 von a., einnimmt. Die Cocfficienten a, b,, b„ — />,„_, sind die nemlichen. 



Fährt man fort, die erste Gleichung (2.) der Reihe nach von den fol- 

 genden abzuziehen, so findet man zusammen «— i Gleichungen wie (4.), 



nur dafs darin der Reihe nach a, , fr a„ statt a^ steht. Die Cocfficienten 



sind in allen die nemlichen. 



IV. In diesen n — i Gleichungen ist nun der Theil N/? rechts durch p 

 theilbar; also mufs es auch der Theil links sein. Linker Hand sind aber die 

 Factoren a.-, — u^ , «, — «,....«^ — «, nicht durch p theilbar, weil der Voraus- 

 setzung nach «, , «„ , «, «„ sänimtlich zwischen o und /; liegen, und also 



«2 — a, , «, — «, «„ — «, sämmtlich kleiner sind, als/;. Also müssen die an- 

 dern Factoren durch p theilbar sein, und daher mufs 



^«a"-' + /-.«r' -h h„crr^ + Z-„_, = N;7, 



-\- 1,0]-^ H- b.,a1-^ + b^_, = N/v, 



1—1 



«7~' ■+- Z>,«"~- -H h.,a1~^ -1- Z'„_j = ISp, 



sein. Die Zahl dieser Gleichungen ist n — i und die Cocfficienten sind in 

 allen die nemlichen. 



V. Man kann nun wieder mit diesen Gleichungen (5.) ganz wie mit 

 denen (2.) verfahren, nemlich die erste der Reihe nach von allen folgenden 

 abziehen. Dieses giebt n — :: Resultate wie (4.), und zwar von der Form 



6. («3_«_,) [aal-^+c^cr-^+cji"-" -f-c„_,] = N/v, 



wo wieder die ersten Factoren links, wie a, — a,, nicht mit p aufgehen, und 

 also die n — 2 Gleichungen 



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