Von einigen Sätzen aus der Theorie der Zahlen. 37 



sind, und man bezeichnet die Anzahl derjenigen Zahlen unter i, ;, 3, 4....^, 

 welche mit A keinen gemeinschaftUchen Factor haben, durch ein vorgesetz- 

 tes f/), so ist 



2. <^A = «"-' («-!) h^-' (h-\) c--' (c-i) p^-' (p-i) 



Erster Beweis. I. Es sei 



3. a" = 3J. 



Unter den Zahlen i, 2, s, h....M— i =: a"— i sind die a"~'— i Zahlen 

 ß, 2(7, ia....(a" — i)a durch a theilbar, und nur diese; alle übrigen sind nicht 

 durch a theilbar. Also ist 



4. <pM=a"—i — {a"-' — i)=a" — a"-'z=a"-'{a — {). 



Diese zwischen o und M liegenden, nicht durch a theilbaren a"~' (a — i) 



Zahlen mögen 



5 . m^ , m,,, w^ 



sein. 



II. Es sei ferner 



6. y =■ N, also 



' 1. ah^ = MN. 

 Man stelle sich die aufeinander folgenden Zahlen i, 2, 3, 'i i)/iV = 



o^ 



a'b" wie folgt, vor 



i 

 I 



1, 2, 3, '1 .... M 



M-hi, M+2, 7T/+3, M+k....2iM 



2M+I, 2M + 2, 2il/+3, 2/f/+4 jM 



(iV— i)A/-Hi, (iY_i)il/+2, (iV— i)yl/+3, (iV— i)7!/+.i . . . . iV^U 



In der ersten horizontalen Reihe befinden sich nach (I.) n""'' (a — 1) 

 Zahlen /«,, m^, m, , die nicht mit a aufgehen. Ist m eine beliebige die- 

 ser Zahlen, so geht auch z.B. die Zahl nlM+rn, in der (n-i-i)"° horizonta- 

 len Reihe, nicht mit a auf. Denn M:=n" (3.) geht mit a auf; also auch uM, 

 und folglich nM+m nicht. Also gehört zu jeder der Zahlen /«,, m.-,, m,..., 

 in der ersten Reihe, in jeder folgenden Reihe eine Zahl, die nicht mit a aui- 

 geht, und folglich befinden sich in jeder Reihe a"~' {a — i) Zahlen, die nicht 

 mit a aufgehen. 



