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Die Anzahl der Reihen in (8.) ist aber N. Also giebt es unter den 



Zahlen i, 2,i....MN 



9. iVV-'(a — i) = äV-'(« — i) y. . 



Zahlen die nicht mit a aufgehen. 



in. Unter diesen Zahlen befinden sich nun noch diejenigen, welche 

 mit b aufgehen, aber nicht mehr diejenigen, welche auch zugleich mit« 

 aufgehen; denn diese sind schon weggenommen worden. 



Diejenigen Zahlen aber, welche mit b aufgehen, sind folgende: 



bm^... .zwischen und bM 

 bM+bm^. .. .zwischen bM \md2bM 

 10..{ 2bM+bmi, 2bßl+bm2, 2bM-hb//i^....zwischen2bM und ibM 



[(b'''—b)3I+bni i,ib^—b) ßI+bm2.,(b^'—b)M+bmi... .zwischen (b^'— b)M und b'M=MN. 



Alle diese Zahlen gehen mit b auf, aber nicht mit a. Denn bm^, bm„, 



hrrij gehen mit b auf und nicht mit a; hingegen M=a" (3.) geht mit a 



auf und nicht mit b. Also gehen alle Zahlen (10.) mit b auf, aber nicht mit a. 



Ihre Anzahl ist in jeder horizontalen Reihe (10.) der von ui,, m^, m^... 

 gleich, also a°~' {n — i) (5.) und die Zahl der Reihen ist ^'~' — 1 + 1=^*"'. 

 Also ist die Anzahl der Zahlen Tmter denen (10.), die noch mit b aufgehen, 

 =zb'^~'a"~' (a — i). Kimmt man sie von den Zahlen (9.), die mit a aufge- 

 hen, weg, so bleibt 



II. fMjy=b''a"-' (a—i) — b-'a"-' (a — i) = a"-' (« — i) b^' (b—i) 



für die Anzahl der Zahlen unter denen i, 2, 3, k....MN übrig, welche weder 

 mit a noch mit b aufgehen. 



IV. Es sei fei-ner 



1 2. c' = P, also 



. 13. a"b'c'z=MNP. 



Man stelle sich die auf einander folgenden Zahlen i, 2, 3,h..,.MJVP 

 = a''b^c^ wie folgt vor : 



1, ' 2, • 3 MN 



MN+\, MN-\-2, MN+i 2MN 



14. { 2MN+i, 2MN+2, 2MN+i iMN 



'^(P— 1) MN+i, (P— 1) MN+2, (P-i) MN+i PMN 



