T^on einigen Sätzen aus der Theorie der Zahlen. 39 



In der ersten horizontalen Reihe befinden sich hier, nach (III.), «""' 

 (a — i) lf'~' (b — i) Zahlen, die weder mit a noch mit Z- aufgehen. Sie mögen 

 dux-ch />t,, pL„, 1U3.... bezeichnet werden. Ist fj. eine beliebige dieser Zahlen: 

 so geht auch z. B. die Zahl nMN + i^, in der (n-hi)"" horizontalen Reihe, 

 weder mit a noch mit /> auf, denn MN-:=a"b'' (3.) geht mit a und h auf, 

 also auch nMN, folglich nMN-[-\J. nicht. Also gehört zu jeder Zahl der 

 ersten Reihe, die nicht mit a und h aufgeht, in jeder folgenden Reihe eine 

 Zahl von gleicher Eigenschaft, imd folglich befinden sich in jeder Reihe 

 a"-' {a — i) b'~' (b — i) solcher Zahlen. 



Die Anzahl der Reihen in (14.) ist P, also gibt es unter den Zahlen 

 1, 2, 3.... MNP 



15. Pa"-'(a—i) l/-'(0 — i) =a"-'{a — i) l?-'{l>—i) c' 



Zahlen, die weder mit a noch mit b aufgehen. 



V. Unter diesen Zahlen befinden sich nun noch diejenigen, welche 

 mit c aufgehen, aber nicht mehr diejenigen, welche auch zugleich mit a 

 oder ^ aufgehen ; denn diese sind schon weggenommen worden. 



Die Zahlen, welche mit c aufgehen, sind aber folgende : 



c\j.^ zwischen aunAcMN 



cMN-\-c!x^ zwisclien cMN wnAlcMN 



2c31N-^ciJ.^ zwisclien zcMNxmA icMN 



16. 



\(c'—c)3IN-i-c,x, , (c'''—c)nJN-^-ciJ..,, {c'-—c)3IN-i-cix, 



zwischen (c'^—c) MN und c^MN=MNP. 



Alle diese Zahlen gehen mit c auf, aber nicht mit a oder b. Denn 



cju,, CjUj, cfx^ gehen mit c auf, aber nicht mit a oder b: hingegen MN 



= a"b'^ (7.) geht mit a und b auf. Also gehen alle Zahlen (16.) mit c auf, 

 aber nicht mit a oder b. 



Ihre Anzahl ist in jeder horizontalen Reihe (16.) der von ju,, ju,, jj...... 



gleich; also gleich n""' (a — i)b'~'(b—\) (11.), und die Anzahl der Reihen 

 ist c''"' — i4-i=c''~'. Also ist die Anzahl der Zahlen unter denen (16.), 

 die noch mit c aufgehen, c*^"'«""' (ß — i)Z>^~'(ä — 1). Nimmt man sie von 

 den Zahlen (15.), die mit a und b aufgehen, weg, so bleibt 



17. cpMNP = c''a"-' (a—i)b'-' (^_i) — c'-'ß"-' (« — j) b'-' (b—i) 

 = a'-'(a—i)b'-'{b—i)c''-'(c — i). 



