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V. Setzt man so den Beweis für die übrigen Factoren von -^ (1-) 

 fort, so findet man den Ausdruck (2.). 



Man könnte diesen Beweis, im Gegensatze zu dem folgenden, syn- 

 thetisch nennen. . • . ■ 

 '\ ),, Zweiter Beweis. VI. In dem Ausdrucke der gegebenen Zahl ^ 

 sei der Factor Ä'^c'' yy'' von ß" gleich i? ; also ; .. 



; ' IS. A=.a"B. " ' " ' "'\ " ' 



Nun stelle man sich die auf einander folgenden Zahlen i, 2, i A 



wie folgt vor: 



1 , 2, 3 B _ 



B+\, B+2, B+3....2B 

 19. <[ 2B+i, 2B+2, 2B+3 iB 



^(«"—1) B+<, («"—1) B+2, (a"—i) B+i .... a"B = A. 



Die ^B Zahlen unter denen 1, 2, 3 B, welche mit B keinen ge- 

 meinschaftlichen Factor haben, mögen 



sein. 



In jeder horizontalen Reihe (19.) gibt es (/»i? solcher Zahlen; denn 

 gesetzt es sei m eine derselben aus der ersten Reihe, so gehört dazu in jeder 

 folgenden Reihe eine eben solche Zahl, z.B. in der (/z-i-i)'" Reihe die Zahl 

 nB + m, die mit B ebenfalls keinen gemeinschaftlichen Theiler hat, weil 

 nB alle Theiler von B mit B gemein hat, m aber keinen. In den a" — 1 + 1 

 ■=a" horizontalen Reihen (18.) befinden sich daher überhaupt 



20. ß"(/)i? Zahlen, die mit B keinen Divisor gemein haben. 



Vn. Nun können offenbar die gesuchten fj Zahlen, welche mit A 

 keinen Divisor gemein haben, sämmtlich nur unter denen sich befinden, die 

 mit B keinen Theiler gemein haben. Denn jede Zahl, die mit B einen Di- 

 visor gemein hat, hat ihn vermöge (18.) auch mit A gemein. Man darf also 

 von den a"(pB Zahlen (20.), die mit B keinen Divisor gemein haben, nur 

 noch diejenigen wegnehmen, welche mit n aufgehen, so bleiben alle Zah- 

 len übrig, welche mit A keinen Divisor gemein haben. Jene Zahlen, welche 

 mit a aufgehen, sind aber folgende : 



