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Von einigen Sätzen aus der Theorie der Zahlen. 41 



<7OT|, «TOj, am^.,.. am ^ zwischen und aB 



aB-ham,, aB-hnni^, aB+nm^....aB-i-am^, zwhchcn aB \\m\ laß 



2aB+am,, laB-^arn.,, 2aB-i-am^....2aB+am,p zwischen 2fl/? und i.i5 



\{a''—a)B-\-amt,{ii"—d)B+ami^{a"—a)B-i-am^.... 



(a" — o) i?+fl;H4, zwischen (a" — a) B vnd a" B = yl . 



Denn erstlich sei m eine beliebige unter den Zahlen /»,, m.,, m^,.,.m_p 

 (19.), die mit B keinen Divisor gemein haben, so hat auch die mit am cor- 

 respondirende Zahl in jeder folgenden Reihe, z.B. die Zahl naB + am mit 

 B keinen Divisor gemein, Aveil iiaB alle Divisoren mit B gemein hat, am 

 aber keinen, indem a eine Primzahl ist; daraus folgt, dafs alle die obigen, 

 mit a aufgehenden Zahlen (-1.) mit B keinen Divisor gemein haben, und 

 folglich nothwendig unter den a"(pB Zahlen sich befinden. 



Zweitens befinden sich aber auch unter den a"(j)B Zahlen (20.) keine 

 anderen weiter, die mit « aufgingen, als die (21.) ; denn gesetzt, es sei na B 

 + am^-\-ak eine zwischen die beiden auf einander folgenden Zahlen naB 

 + am^ und naB + am,^^, , in der (/z-f-i)'" horizontalen Reihe, fallende Zahl, 

 die mit a aufgeht, so, dafs m,^-\-k zwischen m^ und w„^, liegt: so mufs in 



= Uli -+- m,, + A, m,^ + fi nothwendig mit B Divisoren gemein 



haben, weil die nächste, auf /??„ folgende Zahl, welche mit B keinen Divi- 

 sor gemein hat, nach der Voraussetzung w,,+, ist; woraus folgt, dafs sich 

 die Zahl naB ^am^^+ak nicht mehr unter denen (20.) befindet, und dafs 

 unter denselben nur allein die Zahlen (21.) mit a aufgehen. 



VIU. Die Zahlen (21.) sind also wirklich alle diejenigen von denen 

 (20.), welche noch mit a aufgehen. Ihre Anzahl ist in jeder horizontalen 



Reihe der von //«,, m„, /;?, m^ gleich, also gleich (pB, und folglich, weil 



a"~' — 1 + 1 =rt"~' horizontale Reihen vorhanden sind, zusammengenommen 



22. a"-'.(l'B. 



Nimmt man nun diese Zahlen noch von denen (20.) weg, so bleiben 



23. (JyJ = a"cpB — a"-'fB = a"''(a—\)<pB 



Zahlen zwischen o und ^ übrig, welche weder mit B einen gemeinschaft- 

 lichen Divisor haben , noch mit a aufgehen ; also die gesuchten Zahlen, 

 welche mit ^ keinen gemeinschaftlichen Theiler haben. 



Maihemai. Ahhandl. 1832. F 



