42 ■ '■ .'. ' '' Grelle: ■'.', v:-^'-. ■■:-, 



-' IX. Nun sei ferner '• . '■■ 



24. c'-'d\...p^ = C, d''e\...jf = D, ,o'"p'"=.0, p"' = P, so, dafs 



25. B = h'C, C = cD, O = o-P, P = p": 



so folgt unmittelbar aus (23.), wenn man diese für A gefundene Gleichung 

 auf die ganz ähnlich zusammengesetzten Gröfsen B,C, D....P anwendet: 



(/,Z? = ^--'(Z' — i) <pC, 



<pC = c''-'(c — i) cpD, 

 26. ■ 



fO = o''-\o — i) <pP, 

 cpP = p-\p-i). ., 



Für die letzte Gröfse P^p'' sind die Zahlen, welche mit dersel- 

 ben den Factor p gemein haben, /?, 2p, :\p p"~\ deren Anzahl/?""' ist; 



also ist die Anzahl der Zahlen, welche mit P keinen Factor gemein haben, 



X. Substituirt man nun die Ausdrücke (26.) der Reihe nach in ein- 

 ander, und zuletzt in (23.), so erhält man 



27. ^A = a"-\a — \)h"~\h—\)c'-\c—x) p-\p — i); 



welches der Ausdruck (2.) des Lehrsatzes ist. 



Diesen zweiten Beweis kann man, im Gegensatze zu dem vorigen, 

 analytisch nennen. 



3. 



Lehrsatz. Es sei 



1. 7? = 7z,, n..,, «3, n^ 7^^ 



eine beliebige Anzahl regelmäfsig oder luiregelmäfsig fortschreitender, ganzer 



Zahlen ; 



. , , ^ , 2. p,,p,,p, p„ 



seien beliebige Primzahlen ; 



3. S,, Z.^, 5j z^ 



bezeichne die Anzahl derjenigen tmter den Zahlen R (1.), welche nur mit 

 einer, nur mit zwei, nxir mit drei u.s.w. von den Primzahlen (2.), nicht 

 mit mehreren von ihnen zugleich, aufgehen. 



