Von einigen Sülzen ans der Theorie der Zahlen. 43 



Endlich bezeichne 



4. 



die Anzahl derjenigen unter den Zahlen R (1.), welche überhaupt mit einer, 

 mit zwei, mit di-ei u.s.w. von den Primzahlen (2.), also auch mit meh- 

 reren YOn ihnen zugleich aufizehen: so ist 



DO , , 



--.+ 2, + -„=-y,— •«2+'^3 — -^4 



Beweis. I. Unter den s, Zahlen, welche überhaupt mit den ein- 

 zelnen Primzahlen (2.) aufgehen, befmden sich nicht allein die ::;, Zahlen, 

 welche nur mit den einzelnen Primzahlen aufgehen, sondern auch diejeni- 

 gen 2.,, :;3....-^ Zahlen, welche nur mit zwei, nur mit drei u.s.w. Prim- 

 zahlen aufgehen, und zwar diese letztern mehrmal. Denn, gesetzt /■ sei 

 eine von den z„ Zahlen, welche nur mit den beiden Primzahlen /;^ und /;, 

 zugleich aufgehen: so kommt dieselbe eben sowohl luiter den s ^ Zahlen vor, 

 welche mit p^^ als unter denen, welche mit p-^ aufgehen. Sie kommt also un- 

 ter den 5, Zahlen zweimal vor. Ist k eine von den s, Zahlen, welche nur 

 mit den drei Primzahlen p^, p,, p,^ zugleich aufgehen, so ist sie eben sowohl 

 eine der s, Zahlen, welche iml p^, als eine derer, die mit p^, und eine de- 

 rer, die mit p^ aufgehen. Sie kommt also imter den 5, Zahlen dreimal 

 vor, u.s.w. Also ist zusammengenommen 



6. s, = z,-i- 2z,+ iz, -i- niz^. 



n. Ferner kommen unter den s„ Zahlen, welche überhaupt mit 

 zwei Primzahlen aufgehen, nicht allein diejenigen z„ Zahlen vor, welche nur 

 mit zwei Pi'imzahlen aufgehen, sondern auch diejenigen s,, s.....s„ Zahlen, 

 welche nur mit drei, nur mit vier u. s. w. Primzahlen aufgehen, und zwar 

 diese letztern mehrmal. Denn, gesetzt A- sei eine von den z, Zahlen, welche 

 nur mit den drei Primzahlen p„,p,,,Pi, zugleich aufgehen, so ist dieselbe 

 eben sowohl eine der s., Zahlen , welche mit p^ p^ als eine derer, welche 

 mit p^p^ und eine derer, welche mit p,, p,^ aufgehen. Sie kommt also 

 unter den *„ Zahlen dreimal vor. Ist h eine der z^ Zahlen, welche nur 

 mit den vier Primzahlen p,, p,, f'^, />, zugleich aufgehen, so ist sie eben 

 sowohl eine der s., Zahlen, welche mit p, p,, als eine derer, die mit p^p,,'- 

 eine derer, die mit p^p -. eine derer, die mit p^jK'- eine derer, die mit 



F2 



