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4 Zahlen gehen überhaupt mit s.ii auf, nemlich die 2 Zalxlen (20.) und 



noch die 2 Zahlen 165 und 330; 

 6 Zahlen gehen überhaupt mit 5.11 auf, nemlich die 3 Zahlen (21.) und 



noch die 2 Zahlen i65 undsio; '.■""■ ■ 



also ist n£ , 



26. .y„:=s + 4-f-5 = i7. 



2 Zahlen gehen überhaupt mit 3.5.11 auf, nemlich die 2 Zahlen (23.); 

 ^^®° ist 27. s = 2. 



Aus (18.22. 24.) folgt: . ; "Vi <, . 



28. s, + c., + S3 = 30 + 11 + 2 = •i3, . .- ■ 

 und aus (25. 26. 27.): - .. , . : 



29. s, — s^-i-Sj^ss — ir + 2 = 43; •'■' 

 also ist , '• 



30. z, + z.-,-t- z^=:s^ — 52 + '^3J wie es der Lehrsatz behauptet. 



Zusatz. M^I. Wenn man unter einer beliebigen Reihe ganzer Zah- 

 len, wie M (1.), deren Anzahl a sein mag, die Anzahl derjenigen, welche 

 mit keiner der Primzahlen p,, p„, p^..../)^ aufgehen, durch (pa bezeichnet 

 (wo unter (pa die Primzahlen p,, Pzi P3""P,^ selbst nicht mitbegriffen sind) : 

 so ist 



31. (pa:^a — s^ + s^ — s^..:..Z\Z s^. 



Es ist nemlich 



32. a = z,-\-z„ + Zj -{-z^+ipa; 



denn jede von den a Zahlen in 7?, welche es auch sein mag, geht offenbar 



entweder nur mit einer von den Primzahlen p,,p.2 p„,, oder nur mit 



zweien, oder nur mit dreien u.s.w., oder mit keiner von ihnen auf; und 

 wenn man so die Zahlen der Reihe nach betrachtet, so kommen alle ohne 

 Ausnahme vor, und jede nur einmal; woraus (32.) folgt. Setzt man aber in 

 (32.) den Ausdruck von s,+j32-"'+z„ (5.), so erhält man die Gleichung (31.). 

 In dem obigen Beispiele (VI.) ist a = 56 (13.), und zufolge (25. 26. 

 27.) 5, = 58, .^2=1"» s„ = 2. Dieses giebt vermöge (31.) 



33. (pa = 56 — 58 + 17 — 2 z= 13 ; 



und in der That sind es in (13.) die 13 Zahlen 



