Von einigen Sätzen ans der Theorie der Zahlen. 47 



•• ■ ■■ . 34. li, 17, 4,9, 5S, S3, S9, 101, 172, 182, 196, 277, 23S U. 3i2, 



welche mit keiner der drei Primzahlen p, = 3, /^2 = -5 und ^, = 11 aufgehen. 



Erste Anmerkung. VIII. Wenn die gegebene Reihe der Zahlen 

 nicht unregelmäfsig, sondern, nach irgend einem Gesetze, regel- 

 mäfsig fortschreitet, z. B. so, dafs die ersten Differenzen der Glieder der 

 Reihe gleich grofs sind: so läfst sich, wie leicht zu sehen, die Anzahl s^, s.,, 

 ^3, 5^....*^ der Zahlen der Reihe, welche überhaupt mit einer, mit zwei, 

 mit drei u. s. w. von gegebenen Primzahlen aufgehen , nach einfachen Re- 

 geln durch Division finden, anstatt mit jeder Zahl einzeln zu versuchen, ob 

 sie mit dieser oder jener Primzahl aufgehe. Man kann alsdann die aus dem 

 Lehrsatze folgende Formel (31.) benutzen, um die Anzahl </) derjenigen Zah- 

 len einer gegebenen Pveihe zu finden, welche mit keiner der gegebenen Prim- 

 zahlen aufgehen. Enthält die gegebene Reihe i?(l.), etwa mit Ausnahme 

 einiger bestimmten Primzahlen, alle übrigen, wie z. B. die Reihe der un- 

 geraden Zahlen alle Primzahlen, blofs die Primzahl 2 ausgenommen, und 

 man sucht dann, wie viele Zahlen </>, der Reihe, mit den Primzahlen, z.B. 

 zwischen 2 und la nicht aufgehen: so kann man dadurch, weil diejenigen 

 Zahlen, die etwa noch mit Primzahlen grofser als ]'a aufgehen, Primquo- 

 tienten <|rt geben müssen, die Anzahl aller Primzahlen in der gege- 

 benen Reihe finden. 



IX. Wenn die gegebene Reihe die der natürlichen Zahlen 1, 2, 

 3, 4 — a ist, so ist die Berechnung der in der Reihe befindlichen Primzahlen 

 am einfachsten. 



Die Zahlen nemlich unter denen 1, 2, 3 a, welche mit irgend einer 



Zahl p aufgehen, sind 



35. p, 2p, 3p, 'ip np, wo« — np<p. 



Ihre Anzahl n ist also der ganzzahlige Theil des Quotienten — , 

 ohne Rücksicht auf den übrig bleibenden Bruch, der < 1 angenommen wird. 

 Man findet daher 5,, nemlich die Anzahl der Zahlen unter denen 1,2,3 — a, 

 welche überhaupt mit den gegebenen Primzahlen />,, p.-,, p^ /',„ aufge- 

 hen, wenn man a der Reihe nach durch p^, p„, p^ /;„. dividirt und die 



ganzzahligen Theile der Quotienten zusammenrechnet. Eben so würde 

 man s„, s^ s^, nemlich die Anzahl der Zahlen finden, welche überhaupt 



