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Grelle: 



mit zwei, mit drei u. s.w. von den gegebenen Primzalilen p^, p2..,.p^ zii- 

 gleich aufgehen, wenn man der Reihe nach a mit allen Producten der Prim- 

 zahlen zu zweien, zu dreien u. s.w. dividirte und jedesmal die ganzzahli- 

 gen Theile der Quotienten zusammenrechnete. Aber diese letzte Rechnung 

 kann noch verkürzt werden. Man findet nemlich auch die ganzzahligen 

 Theile z.B. von s.,, wenn man, anstatt a durch die Producte der Primzah- 

 len zu zweien zu dividiren, vielmehr blofs die schon berechneten ganzzahli- 

 gen Theile von ^| durch die einzelnen, übrigen Primzahlen dividirt; ferner 

 die ganzzahligen Theile von ^3, wenn man, anstatt a durch die Producte der 

 Primzahlen zu dreien zu dividiren, vielmehr die schon berechneten ganzzah- 

 ligen Theile von s.-, durch die einzelnen übrigen Primzahlen dividirt, u. s. w. 

 Der Beweis davon ist folgender. 



X. Es seien «,, n^, n^ ii^ die gröfsten, in den Quotienten — , 



-""' enthaltenen, ganzen Zahlen ; /•,, r„, r^....r^A.ie Reste derDi- 



n, n 



visoren 



so ist 



36. < 



a 



Pi 

 a 



l^P"- 

 a 



P^ 



PiP-.Pi 



= — -t- 



Pi 



= — + 



PxP2 



n.-*- 



PiPi 



Pi 



P^Pi 



PiPiPi 



P^ PzPi 



+ 



p.PiPi 



a 



37. 



yPiP^Pi Pr, 



a 



P-n 



n — i 

 Pm-tPr. 



-, oder 



PiPzPi--p, 



_^ r^p ^P2--p^-x + r „_,p ,p^....p, 



Pn,-iP„-iPr. PxPzPi—Pr. 



Hr„_g/7,;>2--A'm-3----+^l 



PlP2P2- 



■Pm 



Nun sind nach der Voraussetzung die Pveste r,, /■„, r^...r^ sämmtlich 

 kleiner, als die Divisoren; also wenigstens um 1 kleiner. Also sind die 

 gröfsten Werthe, welche /■,, r„, r^....r^ haben können, folgende: 



38. r,=p, 



r-2=P2- 



'•3 = ^3— 1- 



= ^™-i- 



Dieses in (37.) gesetzt, giebt: 



39. 



= "™-f 



(P„-l)P,P2---Pm-t+(Pr.-,-l)P:P2---Pr,-2+(j'm-2-l)P 1 ^ 2— ^m- 3 • • ■+Pl~t 



PtPlP,...p„ - PiP,Pl---Pm 



oder, wenn man in den Zahlen rechter Hand wegläfst, was sich aufhebt : 



