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XII. Beispiel. Es sei a-='200, so ist p, = 2, p„=^i, /^=5, /c/, = 7, 

 ^5='^ ;^6=i5, und 

 43. 5^==l.oo._,_^ + m + ^+m4.m=ioo + C6 + 4o + 2S+ls+i5=267. 



Nun dividire G6, ho, 2S, is und i5 durcli 2; ho, 2s, is, i5 durch 3i 2s, 

 IS, 15 durch 5; is, i5 durch 7; und 15 durch ii. Dieses giebt 



' " " 44. s^ = 3.3 + 20 + i4 + y + 7 



+ 13 + 9 + 6 + 5 



+ 5 + 3 + 3 > = 132. 

 4-2 + 2 

 + 1 



Auf ähnliche Art findet man 



45. i, = C + -1 + 3 4- 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 



[ = 24. 



5, schon, und alle übrigen s, sind Null, weil in s^ schon die erste Di- 

 vision -j- = o giebt. Es ist also, nach (31.) : 



46. (pa = 200 — 267 + 132 — 24 = 4i. 



So viele Primzahlen befinden sich, aufser denen 2, 3, 5, 7, ii, H, die 

 zu den aufgehenden Zahlen gerechnet sind, unter den Zahlen 1,2,3 200. 



Zweite Anmerkung. XIII. Noch ist zu bemerken, dafs der Satz 

 (31.) einen dritten Beweis des Lehrsatzes (§. 2.) liefert. Dieser Lehrsatz 

 nemlich behauptet, dafs die Anzahl derjenigen unter den Zahlen 



47. 1,2,3,4 ^ = rt"<6V p", 



welche mit /4 keinen gemeinschaftlichen Factor haben : also derjenigen, wel- 

 che mit keiner der Primzahlen a, b, c...,p aufgehen, 



48. cpA = a''-\a — i)b'^'-\b — i)c'-\c — \) p-'ip—i) 



ist. 



Nimmt man nun in dem Lehrsatze (§.3.) für /?(!•) die Reihe der 



Zahlen (47.) an, so ist, nach (31.), für dieselbe: 



A9. (l)A=^J — s^+s„ — s^ + s^. 



Es ist aber, zufolge (XI, 41. 42.), 



