Von einigen Sätzen aus der Theorie der Zahlen. 53 



2. p — 1 = HjA 4- /•, wo 7« eine ganze Zahl und r < A ist, 



/• mit A keinen Factor gemein haben ; denn ginge irgend eine ganze Zahl in 

 /•und A zugleich auf: so müfste sie, vermöge (2.), auch in p — i aufgehen, 

 und folglich würde A mit p — i einen gemeinschaftlichen Factor haben ; der 

 Voraussetzung entgegen. 



II. Setzt man weiter 



3. A =: 77i,r 4- /•, , wo ^n^ eine ganze Zahl und /■, < r ist: 



so kann wieder r^ mit /■ keinen gemeinschaftlichen Factor haben ; denn ginge 

 irgend eine ganze Zahl in r^ und /• zugleich auf: so müfste sie, vermöge (3.), 

 auch in A aufgehen, imd folglich würden A und ;• einen gemeinschaftlichen 

 Factor haben; was zufolge (I.) nicht sein kann. 



IV. Setzt man von Neuem : 



4. /•^/«„/•| -\-r^, wo m„ eine ganze Zahl und r,<.r, ist: 



so können /., und /•, keinen gemeinschaftlichen Factor haben, weil sonst der- 

 selbe, vermöge (4.), auch in /• aufgehen müfste, so dafs /•, und r einen ge- 

 meinschaftlichen Factor haben würden; was nach (IL) nicht sein kann. 



IV. Setzt man ferner 



(5.) 



/■, = m^r„ + Tj 



/. ^^ jji ,. _j_ ,. ■ wo m^, m^,....m^ ganze Zahlen sind 



und /•, < r., , r^ < /•, — ''„<>„_, ist : 

 'n_r_ ,-«-/■ 



so mufs man, weil jedes r kleiner als das vorhergehende, und folglich 

 wenigstens um 1 kleiner ist, nothwendig zuletzt auf ein /•, kommen, wel- 

 ches =: 1 ist, und man kann daher annehmen : 



7. /•„ = 1. 



V. Nun ist, dem Fer matschen Lehrsatze zufolge, z.B. für :• = i, 



■2,h i p — 'i-- 



8. s"-' =iV^+ 1. 



Also ist, vermöge (2.), ^"'+' oder s"":^' = iV/y -t- i. Soll nun z'-=]Vp-hi 

 sein, so ist auch z""^ oder (iV/C + i)"" = iV/^ + i ; also mufs dann auch 

 (iV>+i)z' = iV)y + J, oder z'=IVp — z'jyp-t-i, oder 



