Von einigen Salzen aus der Theorie der Zalden. 55 



dene ganzzahlige Werthe von z mit p aufgeht : so mufs auch in (4.) das Pio- 

 duct (c" — i) [3*'"~"'^+s''"~"*' -Hl] für/j — i verschiedene ganzzahlige Wer- 

 the von z mit p aufgehen. Es kann aber p nicht etwa theilweise in den ei- 

 nen Factor des Products z' — i, und theilweise in den andern 2''"~"'+:;""~^" 



+ + 1 aufgehen, weil es eine Primzahl ist, die keine Factoren hat. 



Es kann vielmehr, für diesen oder jenen Werth von s, nur entweder in den 

 einen oder den andern Factor aufgehen. 



IV. Man setze: p gehe für ju Werthe von z in den Factor z' — i, und 



für v Werthe von z in den andern Factor 2<'"~'"-|-s*"'--'' -\- i auf, so dafs, 



für IX Werthe von z, 



5. s' - 1 = Np, 

 und für i* Werthe von s, 



6. s'"— "+-<—=)' + , =, ^p 



ist : so ist 



7 . IX-\- V ■=.p l = /IlT, 



weil das Product beider Factoi-en z''~' — i nur für p — i verschiedene Wer- 

 the von z mit p aufgeht. 



V. Nun kann es aber, nach (§. 1.), nicht mehr als t ganzzahlige Wer- 

 the von z geben, die der Gleichung (5.), und nicht mehr als {i?i — i) t 

 ganzzahlige W^erthe von z, die der Gleichung (6.) genug thun. Also kann 

 (X nicht gröfser als r, und v nicht gröfser als (m — i) r sein. Deshalb 

 kann aber, wegen ij.-i-v = mr (7.), v auch nicht kleiner sein, als 7?it — r 

 = (/?i — i) r, und folglich ist f, weil es nicht gröfser und nicht kleiner 

 sein kann, als {771 — 1) t, nothwendig gleich (m— i) r, und mithin auch, ver- 

 möge (7.), fx nothwendig = /nr — v = 77it — (w — 1) r = r. Also giebt es 

 nothwendig t verschiedene ganzzahlige Werthe von r-, die der Gleichung 

 (5.) oder (1.) genug thun: nicht mehr, und nicht weniger. 



VI. Anmerkung. Es ist auch noch zu bemerken, dafs für keinen 

 der Werthe von z , für welche der eine der beiden Factoren z'' — i imd 

 „(».-i)r_^„(m_c)T _j_^ mit /^ aufgeht, auch etwa zugleich der andere aufge- 

 hen kann. Denn gesetzt, es gäbe z.B. imter den rWerthen von z, für 

 welche z' — 1 mit p aufgeht, A Werthe von z, für welche zugleich s'"""'" 



-l-s'""~^'" -{- 1 mit p aufginge: so würde dieser letzte Factor für (?7i — 1) t-+-?., 



also für mehr als (in — 1) t Werthe von z mit p aufgehen; welches nach 

 (§. 1.) nicht sein kann. 



