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Lehrsatz. Wenn p eine Primzahl ist, und t ist ein Factor von p — i, 

 z.B. 



SO giebt die Potenz z'' von z, durch p dividirt, für die p — i verschiedenen 



Werthe i, 2, 3.,..p — i von z, nur ^ verschiedene Reste r, und jedesmal 



für T verschiedene Werthe von s, aus denen: 1,2,3...^ — 1, den nemlichen 



Rest /•; d.h.: in der Gleichung , , 1 , , 



2. z' =z JVp + r 



hat /■ nur ^ verschiedene Werthe, und jeder dieser 5 Werthe gehört zu t ver- 

 schiedenen und andern Werthen von z aus denen: 1, 2, 3 p — 1. 



BevFcis. I. Aus (2.) folgt: 



3. s'* = Np-i- r\ ■ 



oder, nach (1.), s*" ~ ' = iV/J + ;* , oder, weil nach dem Fe r matschen Lehr- 

 satze z''~'=.Np + 1 ist, Np+\=- Np + /■" ; also 



4. j-'=zNp 



1. 



Da nun ^ein Factor von p — 1 ist, so folgt hieraus und aus (Lehrsatz 

 5.), dafs der Rest /•, (5^ verschiedene Werthe hat. 



n. Nun ist 



5. s^^— /•* = s"-' — /•* (1.) = z'-' — iV> — 1 (4.). 



Da nach dem Fermatschen Lehrsatze z''~^ — 1, und folglich auch z''~* 

 — Np — 1, für die p — i verschiedenen Werthe 1, 2, i...p — 1 von z, durch p 

 theilbar ist: so geht auch, vermöge (5.), z'^ — r*, für alle diese Werthe von 

 z, mit p auf. Es ist aber 



6. z''—r' = {z'—r)[z''-"+z'''-"-'r+z'''-''r"' + /-']. 



Also mufs in dieser Gleichung auch das Product rechter Hand, für die 

 p — 1 verschiedenen W^erthe 1, 2, 3 p — 1 von z, und für einen und densel- 

 ben Wei'th von /•, mit p aufgehen. 



in. Es kann aber p nicht etwa theilweise in den einen Factor z'' — r, 



und theilweise in den andern s''*'""+s^'*~"V' + ;*"' aufgehen, weil es 



eine Primzahl ist; es kann vielmehr, für diesen oder jenen Werth von z, 

 nur in den einen oder in den andern Factor aufgehen. 



