Von einigen Sätzen aus der Theorie der Zahlen. 57 



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Man setze: p gehe für )U Werthe von z in den Factor 2" — /■, und für 



i/Werthe von z in den andern Factor :;"*-"+ 5''*-"/-+ + /*"' auf; so 



dafs also 



7. z' — r = Np sei für \x Werthe von z , und 



S. 3^'^-"+z"*--V + + r'-' = iV>für i» Werthe von z: 



so ist 



9. ix + vz=p — i=Ti5; 



und ganz wie im Lehrsatze (5.V.) wird mm bewiesen, dafs nothwendig 



10. jU = T und /• =: T (5^ — 1) 



ist. Also giebt es, für einen und denselben Werth von /-, r verschiedene 

 Werthe von z aus denen: 1, 2, 3....p — 1, für welche s^ — /• durch p aufgeht, 

 oder für welche die Gleichung (2.) statt findet. 



IV. Es kann aber auch nicht, für zwei verschiedene Werthe von /•, 

 z^ — r für einen und denselben Werth von /• aufgehen. Denn gesetzt, es wäre 

 z.B. d' — rznJVp, und a' — r,=:JYp: so würde daraus r — r,:=JVp folgen, 

 was nicht sein kann, weil ;• und r, beide kleiner sind, als p. Also gehören 

 zu jedem der ^verschiedenen Werthe von z, r andere Werthe von z. 



8. 



Lehrsatz. Wenn p eine Primzahl ist, und A<^ — 1 hat keinen Fac- 

 tor mit p — 1 gemein: so läfst 2^, mit p dividirt, für die Werthe 1,2,3...^ — 1 



von z, lauter verschiedene Reste; also die Zahlen 1, 2, 3 p — 1 selbst zu 



Resten, wiewohl in vei'schiedener Ordnung ; d.h.: wenn in 



1. «^ = i\7^ + «, ß^ = ]Vp + l,, y'=Np + C 



a, /3, 7.... der Reihe nach die Zahlen 1, 2, i....p — 1 sind: so sind die Reste 

 a, h, c... ebenfalls diese Zahlen, wiewohl in verschiedener Ordnung. 



Beweis. L Man setze 



' p — 1^ m A + A, 

 JA = w,A, -hA_, 

 2. { A, = mj.., + A 



A„ 2= TO„_,A„_,+ A„ 



WO ;«,, m.j,^ m^....m^_^ ganze Zahlen sind, 

 ' ( und A,<A, A„<A,, ....A„_2 <A, ist. 



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