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Da A und p — i keinen Factor gemein haben sollen : so kann es auch 

 keinen gemeinschaftlichen Factor für A, und A geben, weil derselbe sonst, 

 vermöge der ersten Gleichung (2.), auch in ^ — i aufgehen müfste, und also 

 A und p — 1, gegen die Voraussetzung, einen gemeinschaftlichen Factor haben 

 müfsten. Aus gleichem Grunde können, zufolge der zweiten Gleichung (2.), 

 A„ und A, keinen gemeinschaftlichen Factor haben; vermöge der dritten Glei- 

 chung (2.) auch A, und A„ nicht; u.s.w., bis zu A,, und A,_,. 



Da nun aber p — i, A,, A_, bis A^ immerfort abnehmen, und also 



jede dieser Zahlen wenigstens um 1 kleiner sein mufs, als die vorhergehende: 

 so mufs man nothwendig zuletzt auf A„ = i kommen. Hätte A„ mit A„ _ , einen 

 Factor gemein, so würde A^ dieser Factor sein. 



n. Nach dem Fe r matschen Lehrsatze ist, für zwei beliebige Werthe, 

 f>i und (T von ^, . . . 



3. fx''-' = Np+\ wnA (T''-'z=Np+i, 



welches nach der ersten Gleichung (2.) so viel ist, als = 



4, fr'fj}-' = Np-\-i\\nA.<7'"'<j^' = Np-\-\. 



Gesetzt nun, es könnten jm' und er', durch ^ dividirt, gleiche Reste 



lassen, so dafs also z.B. 



5 . IX- = Np + /•, er' = Np + /• 

 wäre : so vnirde 



ö. ijT^^Np + r'', a^°' = iV> + /-" 

 sein; also in (4.): •. .■ . : 



(iV/) +/■'") /^?' = iV/^ + i und {Np + f"')'T^' = Np+ \, oder 



• 7. i^\?" = Np + t imd /"rf^' = Np+ \, 



und wenn man diese Gleichungen von einander abzieht, 



S. ;."•(//■— ^'^')=iV^;7. 

 ni. Man setze 



9 . ij}-' = Np + /•, und 0-^' = iV/y + ^ , : 



so giebt die Gleichung (S.), /•"" {Np-\-i\ — ^,) = Np, oder 



10. r(r-^,) = Np, _ . '.l - 



d. h.: die Primzahl p mufs entweder in r, — a, , oder in r aufgehen. Da aber 

 sämmtliche Pxeste /■,'',, ?i) <P sind: so ist solches nicht anders möglich, 



