F'on einigen Sätzen ans der Theorie der Zahlen. 61 



ist, so dafs der Factor z - — i (1.) für alle Werthe von z, welche Qua- 

 dratreste sind, mit p aufgebt: so folgt, dafs für diejenigen Zahlen unter 



denen 1,2,3 p — i, welche Nicht - Quadratreste sind, und die durch 



^ bezeichnet werden mögen, ^ - + 1 mit p aufgehen mufs, und dafs also 

 für alle Nicht - Quadratreste 



5. ^ - = ^p — 1 



ist. Und zwar haben nur die Quadratreste die Eigenschaft (2.), und nur 

 die Nicht -Quadratreste die Eigenschaft (5.), und jede Zahl iV^-f-i ist, ent- 

 weder unmittelbar, oder noch mit irgend einem l^p verbunden, ein Qua- 

 dratrest, und jede Zahl iVyo — 1, entweder unmittelbai-, oder noch mit ei- 

 nem Np verbunden, ist ein Nicht- Quadratrest. 



III. Bezeichnen /• und /•, zwei Quadratreste, und ^ und ^, zwei 

 Nicht- Quadratreste, zu einer und derselben Primzahl p: so giebt (2.) 

 und (5.) 



6. /'"^/'T^, oder (/v,)''^= {"Sp+x) (Np-i-i) = Np + i; 



also ist auch /v, ein Quadratrest; 

 7- §^^^7^, oder {^^^y^^" = (Np—i) (Np — i) = Np+i; 



also ist auch ^^, ein Quadratrest; 

 8. r~'^^~^, oder {r^)''^ = (Np+i) (Np — i) = Np—i-^ 



also ist r^ ein Nicht- Quadratrest; 



d.h.: die Producte zweier Quadratreste und zweier Nicht- Quadrat- 

 reste sind Quadratreste, und die Producte von Quadratresten und 

 Nicht-Quadratresten sind Nicht-Quadratreste. 



IV. Auch sind diese Producte, wenn einer ihrer Factoren derselbe 

 bleibt, der andere aber alle Quadratreste, oder alle Nicht- Quadratreste durch- 

 läuft, immer alle Quadratreste, oder alle Nicht- Quadratreste. Denn z.B. 

 die Producte rr^ und /7-„ , eines und desselben Quadratrestes ;■ in zwei andere 

 r^ und /•„ , können nicht einander gleich sein, weil /■(/■„, — /■„) weder Null, 

 noch dui'ch p theilbar ist. Eben so können 00^^ und do, oder ro und /'^„ , 

 oder ^r^ imd ^/;, nicht einander gleich sein. 



So ergeben sich diese Sätze von den Quadratresten und Nicht- Qua- 

 dratresten leicht aus dem obigen allgemeinen Satze. 



V. Wenn p — 1 durch ,i = T theilbar ist, so hat ;■, in der Gleichung 



