Von einisen Sätzen aus der Tlieorie der Zahlen. 63 



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n. Haben hier % und A einen gemeinschaftlichen Factor £ > i : so niufs 

 derselbe, vermöge der ersten Gleichung (3.), nothwendig auch in A, aufge- 

 hen ; folglich, vermöge der zweiten Gleichung (3.), auch in A_, ; vermöge 



der dritten in A,, u.s.w. Und da nun A, , A, , A, immerfort abnehmen: 



so mufs man nothwendig auf ein A, kommen, welches gleich z ist. 



ni. Haben dagegen v, und A keinen gemeinschaftlichen Factor, der 

 gröfser als i wäre: so ist in (I.) £=i, und folglich nothwendig A„ = i. 



IV. Es sei, nach (1.), 



4. oi'' = ]Sp-\-R und Q,"- = Np ■\- R: 



so ist, zufolge der ersten Gleichung (3.), ' ' • 



. 5. «"■'■a^' = iV/; + i? und i3""/3^' = iV/J + /?. 



Gesetzt nun, es könnten auch it' und /B*^, durch /? dividirt, gleiche Reste 



lassen; so also, dafsz. B. 



6 . a' = Np + ;•, /3 ' = Nji -+- /■ 

 wäre : so wäre 



7 . rt"' '■ = Np -i- /■"■ und Qr ' = Np + /■"■ ; 

 also in (5.) 



(,V/j + /-)c<;^' = iV/; + i? und {Np+r"')i2^' z= Np + R, oder 

 8. r"'u^' = Np-i-R und r'"ß'^' = Np -i- R. 

 Zieht man diese Gleichungen von einander ab : so erhält man : 



V. Man setze 



10. c(}^ = Np-t-r, und ß^-' = Np + o, ; 



so giebt die Gleichung (9.) 



r" {Np + r, — ^^) = Np, oder 



d. h.: die Primzahl p mufs entweder in /■, — ^, , oder in /■ aufgehen. Da 

 aber sämmtliche Reste r, ?■,, ^, <:p sind: so ist solches nicht andei-s mög- 

 lich, als wenn ;■, — ^, = 0, oder /■, = ^j ist. Es müssen also, wenn nach 

 (6.), a'' und ß'', mit p dividirt, gleiche Reste /■ lassen sollen, auch in (10.), 

 « 'und/S ', mit p dividirt, gleiche Reste /•, geben, und folglich mufs auch 



