T-^071 einigen Sätzen ans der Theorie der Zahlen. 65 



sein, wenn nach (6.) ci und /3% durch p dividirt, gleiche Reste lassen soll- 

 ten. Dieses aber ist nicht möglich, weil a und ß beide kleiner als p sind, 

 und ungleich vorausgesetzt werden, so dafs auch a — ß nicht Null ist. 

 Also kann, im Fall k imd A keinen gemeinschaftlichen Factor haben, keiner 



der Reste /•, s, t , in (2.), dem andern gleich sein. 



IX. Haben y. und A den gemeinschaftlichen Factor e, so ist, nach 

 (II.), A^ = £. Also mufs dann, wenn a' und /3^, durch /^ dividirt, gleiche 

 Reste lassen sollen, vei-möge der letzten Gleichung (20.), 



23. a' = Np + /•„ und ß' =Np + r^ 



sein; d.h.: es mufs die Potenz -' von z, durch/; dividirt, für verschiedene 



Werthe a, ß von -s, gleiche Reste /•„ geben. Dieses ist, nach (Lehrs. 6.), 



wirklich der Fall, und zwar für £ verschiedene Werthe von z, wenn z ein 

 Factor von p — i ist; imd es ist, nach (Lehrs. 7.), nicht der Fall, wenn s mit 

 p — 1 keinen gemeinschaftlichen Factor hat; wie es im gegenwäi'tigen Lehr- 

 satze behauptet wird. 



11. 



Lehrsatz. Wenn p eine Primzahl, und r ein Factor von p — i ist: 

 so giebt es unter den Zahlen i, 2, i.,.,p — i so viele Werthe von z, von wel- 

 chen keine niedrigere Potenz als 



1. z^ = Np + 1 



ist, als es Zahlen unter denen i, 2, 3...T giebt, die mit t keinen gemeinschaft- 

 lichen Factor haben. Wenn T=p — t selbst ist: so sind jene Werthe von 

 z die sogenannten primitiven Wurzeln zur Primzahl/'. 



Beweis. I. Es sei 



2. T = fl"Z.V'' = a"B. 



Da T ein Factor von/; — i sein soll: so sind AVLc\xaB.,a'B.,a^B....a"~' B, 

 welche sämmtlich kleiner als t sind, Factorcn von p — i. Es giebt nun, nach 

 {%• 6-)> so viele Werthe von z aus denen: i, 2, 3....p — i, von welchen schon 

 die Potenzen 



3. z"^, s"'^ g"'-^ z'-'B = Np+i 



sind, als die Exponenten dieser Zahlen Einheiten enthalten. . 



Mathemat. Ahhandl. 1832. I 



