Von einigen Sätzen aus der Theorie der Zahlen. 67 



so sind /•,, /•,, /-j — rp-i^ alle verschiedene Quadratreste zu p\ denn {p — i)", 

 {p — 2)', {p — i)", {p—^y, geben die nemlichen Reste. 



Multiplicirt man die Gleichungen (2.) mit einander, so erhält man 



3. (i.2.3..4....i^) =^y + >\'-2'\ /V-< , 



und folglich ist auch 



4. {{p-^){p--){p-^) ^)=^> 



.rr-i' 



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n. Nun sind die Producte aller Quadratreste in irgend einen Nicht- 

 Quadratrest ^„, alle Nicht- Quadratreste, (§.8. IV.). Also erhält man, 

 wenn man die Gleichungen (2.) sämmtlich, z.B. mit dem Nicht -Quadratreste 

 ^„ multiplicirt, 



5. §,„.r = A>4-^,, ^„.2-=Np + ^„, ^^..r = Np+§^ 



Multiplicirt man diese Gleichungen (5.) in einander, so erhält man 



6- ?r^0---^-'^----^)"=^/^ + ?,?.?, ?^ • 



in. Multiplicirt man ferner die Gleichungen (4 und 6.) in einander, 

 so ist das Product 



7. (1.2.3.4....^— 1)- 51^2 =-^/' + ^,''2^3----'"^ •?,?.?, ?P-^ • 



Aber die Potenz -^^ jedes Nicht- Quadratrestes ^,„ ist := Np — i (§.8. 

 Gl. 5.), und die Quadratreste r^ , r„ , r^....rr~\ , mit den Nicht- Quadratres- 

 ten ^,, ^.-,, §,-... ^rj:^ zusammengenommen, sind alle die Zahlen i.2.3...p — i. 

 Also ist die Gleichung (7.) so viel, als 



S. (1.2.3.4 (;;— 1))- (Np—i) = Np+i.2.3A (p — i)- 



IV. Daraus folgt: 



— (1.2.3. •'( (;?— 1))" ^A^;-!- 1.2.3.4 (^_i), oder 



9. (i.2.3.4....(/;— i))(i.2.3.4....(;;— i)+i) = — A'^ = 7V^, 



d. h.: das Product der beiden Factoren i.2.3..,.{p — 1) und 1.2.3. ...(/? — i)-+-i 



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