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Ku méme temps (iii'on reculait pen a pen le terme depuis 

 lequel on a su résoudre numériquement les équations du second 

 degré, on savait tres bien qu' En cl ide avait déja démontré 

 géométriquement les mémes resolutions; mais comme il les 

 démontré dans sa géométrie et se contente d'applications pure- 

 ment géométriques, on n'y a vu qu'une operation géométrique 

 dont Euclide et ses contemporains n'auraient pas encore connu 

 l'utilité pour le calcul. Je ne reviendrai pas ici sur toutes les 

 raisons, dues en grande partie å M. Paul Tannery, el qui m'ont 

 porte a croire qu'au contraire les demonstrations d' Euclide 

 sont destinées a embrasser aussi les équations numériques; 

 j'en ai rendu compte soit dans Lu théorie des coniques dans 

 l'antiquité, soit dans mes Lecons derniérement parues. Je me 

 borne a rappeler ici pourquoi une demonstration exacte devait 

 apparteuir a la géométrie. C'est parce qua elle seule, la géo- 

 métrie embrassait aussi les quantités irrationnelles, exclues de 

 l'arithmétique, qui n'était que la théorie des nombres entiers et 

 de leurs rapports (t'ractions rationnelles). Lne théorie arith- 

 métique des équations du second degré , qui conduisent en 

 general a des quantités irrationnelles, ne serait done pas 

 exacte. 



Ce que j'ai dit ici de la théorie des équations quadratiques, 

 a lien aussi pour toute la mathématique pure des anciens. 

 Nous sommes accoutumés a opposer a la géométrie les recherches 

 qui appartiennent a la mathématique pure et reposent a present sur 

 des generalisations des calcul s; pour les Grecs, la géométrie 

 était le seul organe capable de representer ces recherches d'une 

 maniére exacte, tandis que rarithmétique ancienne n'était capable, 

 pour les raisons déja mentionnées, d'aucune generalisation de 

 ses calculs. Il est vrai que le 5 e livre d'Euclide contient la 

 base dune théorie des quantités générales sous forme d'une 

 théorie des proportions, et que dans le livre cité Euclide 

 fait usage de la géométrie uniquement en représentant les 

 termes de proportions par des segments de droites; mais cette 



