X Rapport sur un mémoire envoyé en réponse å 



unes des propriétés relatives å ces fonctions, énoncées par 

 Ri em an n, inais incomplétement démontrées par hu. Le mé- 

 moire se divise en deux sections principales , dont la premiere 

 traite de la fonction C, l'antre section traitant de la fonction £(t) 

 qni se relie de tres pres a la précédente. 



En discntant la fonction £( s ) 5 l'auteur part de la definition 

 qne donne Riemann a l'aide d'nne intégrale prise le long d'un 

 contour ferme. IVIais la discussion ultérieure manque de clarté, 

 faute a laquelle s'en rattachent d'autres reelles. Cela a pour 

 conséqnence de rendre incomplet le resultat final, développement 

 qui, d'ailleurs, semble inconnn jusqu'ici, du produit IJ{s — 1 ) C(**), 

 a l'aide de fractions simples; car, å l'expression générale que 

 donne le mémoire, il faut ajouter une fonction transcendante 

 entiére. Une comparaison avec les valeurs connues que prend 

 la fonction C pour \s\ > 1, aurait révélé a l'auteur rinexactitude 

 de son résidtat. La formule compléte se présente facilement 

 quand on traite l'intégrale reelle 



00 



-S— 1 



— — - dz 

 e z — 1 

 o 



par un procédé analogue a celui qui conduit a la formule de 



M. Prym pour la fonction r. 



L'erreur signalée ici n'est point la seule : il se trouve, dans 

 le mémoire en question, d'autres erreurs graves a coté de 

 diverses inexactitudes de moindre portée. Ainsi nous pourrions 

 citer qu'en traitant l'intégrale curviligne qui sert a déduire la 

 formule de Riemann pour le nombre des racines de g(t) = O 

 comprises a l'intérieur d'un contour donné, l'auteur rejette sans 

 preuve une partie de l'intégrale, partie dont on ne peut pas 

 admettre l'évanouissement. De méme , en démontrant par la 

 méthode indirecte que les racines en question sont toutes reelles, 

 il commet, au moins au point de vue de la forme, une erreur 

 dans le raisonnement. 



Ces erreurs rendent illusoires en grande partie les resultats 

 trouvés, et nous y insistons d'autant plus qu'en aucun point 

 essentiel du mémoire, on ne trouve ni nouveaux points de vue, 

 ni méthodes capables de jeter une nouvelle lumiére sur le sujet. 

 Les contributions réellement originales (jue l'auteur aurait pu 

 faire, si l'on en juge par certaines inférences, n'ont point abouti 



