r kan ikke være en hel Funktion, thi saa vilde (7) under 

 Formen 



kræve, at r gik op i 1, hvilket er umuligt. 



Antog man dernæst r = — , en uforkortelig rational brud- 

 Pi 



den Funktion, saa fik man af (7) 





= Qi^ 



saa at q'^ maatte gaa op i gf imod Forudsætningen. 



Var endelig r = gf , p hel storre end 1, altsaa g irratio- 

 nal af lavere Orden end r eller rational, saa fik man 

 i 1 



gP=^ 



pg ax^ pg^ \p I dx'- 



Men heri vilde venstre Side være irrational af hojere Orden end 

 højre, med mindre /? gik op i 4 , altsaa ^ = 2 eller p = 4. 

 For disse Værdier faas: 



^"^ ' 1g dx'' 4e dx'' e'-^' 



^ ' Ag dx"" 16^2 dx'' g ' 



hvoraf ses, at rationale g giver brudne X, begge Dele imod 

 Forudsætningen. 



Da Liouville har bevist, at (1) for X hel algebraisk rational 

 af lige Grad, undertiden kan have Integraler af Formen 



Yé og Zé , 

 hvor F, Z og Q ere hele algebraiske Funktioner, bemærkes, at 



r og -5^ slet ikke svare til Liouvilles Betegnelser F, Z og Q, 



saa at de her fundne Resultater ingenlunde ere i Strid med det 

 forhen bekjendte. 



