46_ 



Substitutioner af een ny afhængig Variabel. Fojes hertil, at den 

 lineære Ligning af første Orden som Led i den liele Gruppe af 

 lineære Ligninger i Almindeliglied er ret vel stillet i systematisk 

 Henseende, og at den derfor anvendte Substitution i Virkelig- 

 heden kun er en skjult Anvendelse af Metlwden af den arbi- 

 trære Konstants Variation^ som udgjOr et almindeligt, men ikke 

 ofte nok benyttet Hjælpemiddel for Integralregningen, saa synes 

 der at være Grund til alene at arbejde paa en P'orbindelse 

 imellem de to andre Grupper. Ldbyttet af nogle ret heldige 

 Forsøg i denne Retning meddeles her tilligemed de Frugter, de 

 ogsaa i anden Henseende have ydet, 



2. Gaaer man ud fra (1), som er den almindeligste af de 

 to Ligninger (1) og (2) og bliver integrabel ved den bekjendte 

 Substitution ^ = — , saa opstaaer Sporgsmaalet om, hvilke Lig- 

 ninger af Formen , 



2, = fipi^.y)) (3) 



der ere integrable ved Substitutionen 



2 = CO (.T, y\. (4) 



Da man heraf l'aaer 



dz dm dm 



dx dx dy '^ '^ ^ 



saa kommer det an paa at linde nr saaledes bestemt, at de 

 Variable i (o) kunne skilles ud fra hinanden (separeres). Kun 

 tre Tilfælde ere mulige; hojre Side af (o) kan enten være uaf- 

 hængig af .T, eller indeholde x alene i en for begge fælles 

 Faktor uafhængig af 2;, eller indeholde z paa samme Maade. 

 a. Hojre Side af (5) bliver uafhængig af x, naar 



dm dm , 



dx ^ dy ' 



altsaa naar m'{x,y) --- ax-\-hy -\- c. 



Som Følge heraf bliver Ligningen 



-/ = f\ax+by + c] (6) 



dx " '^ 



integrabel ved z = ax -{- by -\- c , 



