2 CfxELLe: einige Bemcrlaingcn ühcr iinhcstimmte Gleichungen 



Da ich die Bemerkungen, welche sich mir dabei ergaben, anderswo nicht 

 gefunden habe, so mache ich sie zu dem Gegenstande des gegenwärtigen 

 Vortrags. 



Von der Gleichung 



1. o„A\ = c/,.v, + k 



wex-de zimächst Folgendes, der weiteren Bemerkungen wegen, in Erinnerung 

 gebracht. 



I. Wenn a, und a, gemeinschaftliche Factoren > i haben , die nicht 

 in Je aufgehen, so können a\ imd a.^ nicht beide ganze Zahlen sein; denn 

 wenn z. B. o, = a, A imd a^ = ct,,X wäre, wo «, xmd a„ ganze Zahlen sind, 

 so wiu'de die Gleichung, mit A dividirt, a^o;, — «c^'a = y geben, wo y ^in 

 irreducibeler Bruch wäre, welcher der ganzen Zahl a„x, — «, x„ nicht gleich 

 sein kann. Es mufs also immer vorausgesetzt werden, dafs a, , a^ und k 

 keine gemeinschaftlichen Factoren haben, und dafs dergleichen etwa vorhan- 

 den gewesene Factoren durch die Division weggeschafft worden sind. 



IL Dagegen hindert nichts, dafs k mit a, gemeinschaftliche Factoren 

 habe, und andere dergleichen mit a^. 



III. Die gegebenen Zahlen in der Gleichung «,, ct., und k können 

 immer alle drei positiv vorausgesetzt werden, wenn sie es auch nicht sind; 

 und wenn man, damit sie positiv wei'den, ihr Zeichen ändert, so ändert sich 

 von x, und a-j nicht der absolute Werth, sondern nur das Zeichen. 

 Denn: zuerst kann die Gleichung immer so geschrieben werden, dafs k 

 positiv ist; also sind nur folgende A Fälle möglich: 



■i- «_, a-, = + a, a'„ + k 



-h «„ .r , = — ö , .r„ -t- k 



I — a,, X, = -\- a^ x„ + k 



V — a, a-, =: — a, ji\, •+■ k. 



Der zweite Fall aber reducirt sich, wenn man .r,, der dritte wenn man .r, 

 und der vierte wenn man beide, x^ und a-,,, ohne ihren absoluten Werth zu 

 ändern, negativ nimmt, auf den ersten. Also haben die a-, und x„ in allen 

 vier Fällen für die nemlichen absoluten Werthe von a, , a,, und 7t gleiche 

 absoluten Werthe und blofs verschiedene Zeichen. 



