vom ersten Grade zwischen zwei ganzen ZaJilen. 3 



IV. Man kann in der Gleichung (1.) auch immer a, >a, A'oraus- 

 setzen. Denn nachdem man das Glied der Gleichiuig mit dem gröfseren der 

 beiden Coefiicienten auf die Seite A'on k gebracht hat, lassen sich, nach (III.), 

 die Zeichen so ändern, dafs alle drei Ghetler positiv werden. 



Welche also auch die gegebene Gleichung ö^a-, =a,a\, + /v sein 

 mag: immer kann man sie so verwandelt annehmen, 



1) dafs a^ und a„ keinen gemeinschaftlichen Factor > i haben; 

 ■2) dafs, wenn Factoren >i von k in «, oder a., aufgehen, nicht der 

 nemliche Factor die beiden Gröfsen a, luid a,^ zugleich theilt; 



3) dafs immer alle drei Gröfsen a,, a„ und Je positiv sind, imd 



4) dafs a^ > «„ ist. 



Nur eine Gleichung, welche diese Eigenschaften hat, ist daher zu lui- 

 tersuchen nöthig. Es werden also von den zu imtersuchendeu Gleichungen 

 die bezeichneten Eigenschaften stillschweigend vorausgesetzt werden. 



2. 



Es werde nun zuerst der Satz bewiesen, dafs es nicht blofs ganzzahlige 

 Werthe von a-, und a\ geben kann, welche der Gleichung (1.) genug thun, 

 sondern dafs es deren, und zwar von a?, und a-^ zugleich, nothwendig 

 geben mufs. 



Sind zuerst a^ und a.^ beide = i, welches der Bedingung, dafs a, und 

 a„ nicht beide zugleich mit 1c einen gemeinschaftlichen Factor > i haben 

 sollen, nicht widerspricht, und in welchem Falle dann die Gleichung die Form 



3. a", = x„-\- k 



haben -würde, so kann z. B. a„ jede beliebige ganze positive oder negative 

 Zahl sein ; imd zu jedem solchen W erthe von a\, gehört auch immer ein 

 ganzzahliger \\erth von a^. 



Ist ferner nur einer der Coefficienten a, xuid a^ gleich i, so dafs die 

 Gleichung die Form 



4. a.\ ^ a,A..,-i-7c oder 



5. f^j^^'t =a\, + /t 



hat, so kann in (4.) cc^ und in (ö.) x, jede beliebige ganze positive oder 

 negative Zahl sein, imd zu jedem solchen Werthe von a\, in (4.) gehört ein 



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