vom ersten Grade zwischen zwei ganzen Zahlen. 5 



wo X sowohl als N+n ganze Zahlen shid. Bezeichnet man sie zur Unter- 

 scheidung durch a-2 und a,, so erhält man 



a.,x^ =: « , ^2 + ho , 



welches die gegebene Gleichung ist. 



Es folgt also, dafs es auch dann, wenn a, und a^ beide gröfser als i 

 sind, also in allen möglichen Fällen nothwendig ganze Zahlen giebt, welche 

 der Gleichung (1.) genug thun. 



3. 



Nun werde gezeigt, dafs die ganzen Zahlen, welche immer für x, und 

 x^ existiren, nur diejenigen sein können, welche 



8. a-, = 7?a, •+-kz, 



9. x„ = n a, + 1<z., 



ausdrücken, wo n eine Avillkührliche ganze Zahl bezeichnet, die aber in 

 den beiden Ausdrücken (8 und 0.) die nemliche ist, z^ und z., dagegen 

 irgend zwei zusammen gehörige ganze Zahlen, die der Gleichung 



10. «2-1 = «,-2+1 



genug thim. 



Dividirt man die Gleichung (1.) durch Ic, so erhält man 



«.^=«■-^ + 1, 

 und wenn man 



11. x^ ^^^ "*■, > *-^2 ^^ f^Z^ 



setzt, 



«.-■. = «.-2+i; 



wie (10.). Jede zwei ganze Zalilen, die, für s, und z^ gesetzt, der Gleichung 

 (10.) genug thun, erfüllen also avich, mit k multiphcirt, die Gleichung (1.); 

 denn für diese ist zufolge (11.) x^ = ^<:z^ und X2'=-kz„, imd folgHch sind 

 1iz^ und lcz.2 zwei der ganzen Zahlen, die der Gleichung (1.) genug thun. 



Es kann aber noch zu /rc;, ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches na, 

 von a,, und zu hz., ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches na^ von a, hinzu- 

 gethan werden. Denn setzt man 



o-, =: na, + /c:;, und x„ =z na„-{-kz„ 



in die Gleichung (1.), so giebt sie 



