6 Grelle: einige Bemei'kungen über unbestimmte Gleichungen 



a^iiiai + kz^) = a^{na-, + lcz.^) + 1c, ',v ^ r <.,- 



oder ; i , : 



a„ 7iz , = a, Jxz„ + k, oder c„ ;;, = «, ^^j + i ; 



welches die Gleichung (10.) selbst ist, der z, und z^ genugthuend voraus- 

 gesetzt wurden. 



Es folgt daher zunächst, dafs alle die Werthe von o;, und a^ ohne 

 Ausnahme, welche (8 imd 9.) ausdrücken, der Gleichung (1.) genug thun, 

 wenn z, und z„ zwei zusammengehöi'ige, der Gleichung (10.) entsprechende 

 ganze Zahlen sind. 



Nun nehme man an, es gäbe für x, und a% , aufser den Wertheu, 

 welche (8 und 9.) ausdrücken, noch andere, also dazwischen liegende 

 ganze Zahlen, z. B. die Zahlen 



12. x, = na, + kz,-i-p, 



13. a\ = na„ + kz., + (/ : 



so wird p zwischen o und a, liegen; r/ bleibt einstweilen imbestimmt. Setzt 

 man nun die für oc, und a\, vorausgesetzten Avisdrücke (12 und 13.) in die 

 Gleichung (1.), so ergiebt sich 



14. a„ (na^ + kz, +p) = a, {na., + l'Z., + 7) + k. 

 Es ist aber zugleich vermöge (10.) nothwendig 



15. a.^{na^-[-l^■z^) = a^(Tla-, + hz„) +k. 

 Die Gleichungen (14 und 15.) von einander abgezogen, giebt 



Ib. a^p = a^(| oder = (j. 



Es müfste also, da q eine ganze Zahl sein soll, a^pl^m\,a^ aufgehen. Aber 

 a„ hat mit «, nach der Voraussetzung keinen Factor gemein: also müfste «, 

 in p aufgehen. Dieses kann nicht sein, weil p zwischen und a^ liegt Also 

 findet zunächst die Voraussetzung (12.) nicht Statt, das heifst: es kann p 

 nicht zwischen o und a^ liegen, sondern nur irgend ein Vielfaches so, von 

 a^ sein. Die Gleichung (16.) kann also mu- heifsen a..,ea, = a,(/, woraus 



17. r/ = sa„ 



und mithin folgt, dafs auch q nicht zwischen und «^ liegen sondern nur 

 ein Vielfaches von a„ sein kann, und zwar nur das neniliche efache von 

 «2 welches p von a, ist. Die Gleichungen (12 und 13.) drücken also, da 



